2．3抛物线2．3.1抛物线及其标准方程【课标要求】1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．2．会求简单的抛物线的方程．【核心扫描】1．抛物线的定义及其标准方程的求法．(重点)2．抛物线定义及方程的应用．(难点)自学导引1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．距离相等焦点准线试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？提示当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)(p2，0)x＝－p2y2＝－2px(p>0)(－p2，0)x＝p2x2＝2py(p>0)(0，p2)y＝－p2x2＝－2py(p>0)(0，－p2)y＝p2想一想：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？提示一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．题型一求抛物线的标准方程【例1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(－2，0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2，3)；(4)焦点到准线的距离为52.[思路探索]求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数p.若类型不能确定，应分类讨论．解(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且p2＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝－8x.(2) 焦点在y轴正半轴上，且p2＝1，∴p＝2，∴抛物线标准方程为x2＝4y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝92或n＝43.∴所求的抛物线方程为y2＝92x或x2＝43y.(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4，0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.∴所求抛物线的标准方程x2＝－12y或y2＝16x.题型二抛物线定义的应用【例2】如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．[思路探索]解题的关键是利用抛物线的定义得到|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，由图可知当A、P、Q三点共线时取最小值．规律方法抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．【变式2】已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()．A.172B．2C.5D.92解析如图，由抛物线定义知|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值．又A(0，2)，F(12，0)，∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|＝（0－12）2＋（2－0）2＝172.答案A题型三抛物线的实际应用【例3】(12分)一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值．审题指导本题主要考查抛物线知识的实际应用．解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的问题解决．[规范解答]以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直线坐标系，则点B的坐标为(a2，－a4)，如图所示．(3分)设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则(a2)2＝m·(－a4)，∴m＝－a.(6分)即抛物线方程为x2＝－ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－0.82a.(8分)欲使卡车通过隧道，应有y－(－a4)>3，即a4－0.82a>3.(10分) a>0，∴a>12.21.∴a应取13.(12分)【题后反思】在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．【变式3】某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分...
