高中数学 (二维形式的柯西不等式 新人教A版选修4-5 试题VIP免费

有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式.如均值不等式:1212(,1,2,,)nnniaaaaaaaRinn≥.本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.二维形式的柯西不等式思考:阅读课本第31页探究内容.设为任意实数.,,,abcd()()2222abcd联想由222abab≥两个实数的平方和与乘积的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什么不等关系:发现定理:定理1(二维形式的柯西不等式)若,,,abcd都是实数,则22222()()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.思考解答变形你能简明地写出这个定理的证明吗？运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.思考1:设,,1,abRab求证:114ab≥.证明:由于,abR,根据柯西不等式,得21111()()()4abababab≥又1ab,∴114ab≥可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！定理1(二维形式的柯西不等式)若,,,abcd都是实数,则22222()()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.变变形……,可得下面两个不等式:⑴若,,,abcd都是实数,则2222()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.⑵若,,,abcd都是实数,则2222()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.这两个结论也是非常有用的.注：若11(,)xy�，22(,)xy�，则121222221122cos,xxyyxyxy�三角不等式定理2(柯西不等式的向量形式)若,�是两个向量,则�≥.当且仅当�是零向量或存在实数k，使k�时,等号成立.定理1(二维形式的柯西不等式)若1122,,,xyxy都是实数,则2222211221212()()()xyxyxxyy≥.当且仅当1221xyxy时,等号成立.定理1(二维形式的柯西不等式)若1122,,,xyxy都是实数,则2222211221212()()()xyxyxxyy≥.当且仅当1221xyxy时,等号成立.111(,)Pxy222(,)PxyOxy|-|12xx12|-|yy这个图中有什么不等关系?（发现）定理3(二维形式的三角不等式)设1122,,,,xyxyR那么22222211221212()()()()xyxyxxyy≥.当且仅当1221xyxy时,等号成立.Oxy(,)111Pxy(,)222Pxy柯西不等式的应用举例:思考2.已知224936xy,求2xy的最大值.变式1.已知224936xy,求2xy的最大值.变式2.已知326xy,求22xy的最小值.变式3.已知326xy,求222xy的最小值.思考3.求函数51102yxx的最大值.525221136课堂练习：P36第1，3，4课堂练习：P36第5题:已知a,bR，a+b=1,12,,xxR求证：121212axbxbxaxxx≥分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.证明：∵1212axbxbxax=1221axbxaxbx由柯西不等式可知1212axbxbxax21212axxbxx≥=21212abxxxx.得证课堂练习：P36第6，7，8,9课外思考:已知22111,abba求证：221ab.证明：由柯西不等式，得22222211111abbaaabb≤当且仅当2211bbaa时，上式取等号，2211,abab222211,abab于是221ab。注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的