高中数学 第一章131三角函数的周期性精品课件 苏教版必修4 课件VIP专享VIP免费

1．3三角函数的图象和性质1．3.1三角函数的周期性学习目标：了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期为T＝2πω.课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练课前自主学案温故夯基sin(α＋2kπ)＝_________，cos(α＋2kπ)＝_________，tan(α＋2kπ)＝__________(k∈Z)．sinαcosαtanα知新益能1．周期函数的概念(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得___________内的每一个x值，都满足_______________，那么函数f(x)就叫做___________，非零常数T叫做这个函数的______________．(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的__________，那么这个最小的正数就叫做f(x)的____________________．定义域f(x＋T)＝f(x)周期函数周期正数最小正周期2．三角函数的周期(1)正弦函数y＝sinx(x∈R)的周期是__________________，最小正周期是________.(2)余弦函数y＝cosx(x∈R)的周期是__________________，最小正周期是_________.(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝______.(4)三角函数的周期，如没有特别说明指的是_________________．2kπ(k∈Z且k≠0)2π2kπ(k∈Z且k≠0)2π最小正周期2πω如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)是否是f(x)的周期？提示：不一定，当n≠0时，nT是f(x)的周期，当n＝0时，nT不是f(x)的周期．问题探究课堂互动讲练求三角函数的周期对于简单的三角函数式，可直接用公式T＝2π|ω|求解；对于复杂的三角函数式，可先化为y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)再求解，还有的可根据图象数形结合得到．例例11求下列函数的最小正周期：(1)y＝cos2x；(2)y＝2sin(3x＋π4)；(3)y＝sin(1πx－π4)；(4)y＝cos(3－2x)．【思路点拨】由于所给函数均是三角函数，因此可直接利用公式求解．【解】(1) ω＝2，∴最小正周期为T＝2π2＝π.(2)y＝2sin(3x＋π4)的最小正周期为T＝2π3.(3) ω＝1π，∴T＝2π1π＝2π2.(4) y＝cos(3－2x)＝cos(2x－3)，∴T＝2π2＝π.【名师点评】理解好周期函数与周期的意义要注意以下几点：(1)定义域中的任意x均满足f(x＋T)＝f(x)，而非某一个特殊x值满足；(2)常数T是非零的；(3)y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期为2π|ω|.互动探究1本例(1)(2)分别变为(1)y＝|cos2x|；(2)y＝2sin(ax＋π4)(a≠0)，则结果如何？解：(1)y＝|cos2x|的最小正周期是y＝cos2x的一半，∴T＝π2.(2)T＝2π|a|.周期函数的定义及应用周期函数的定义及公式f(x＋T)＝f(x)的应用．应注意：(1)并不是所有周期函数都有最小正周期；(2)如不特殊说明，所说的周期均指最小正周期．例例22已知f(x＋1)＝－f(x)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．【思路点拨】只需找出常数T≠0，验证f(x＋T)＝f(x)(x∈R)．【证明】 f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．【名师点评】(1)若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于x＝a，x＝b(b＞a)都对称，则f(x)是周期函数且2(b－a)是它的一个周期．(2)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a＞0)，则f(x)是周期函数，且6a是它的一个周期．(3)已知f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，由定义可证得f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．(4)若f(x＋a)＝－1fx(a＞0)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．周期函数的求值结合周期性，转化待求问题为已知函数区间上的问题．例例33(本题满分14分)设f(x)是定义在R上的最小正周期为5π3的函数，且在[－2π3，π]上f(x)＝sinx，x∈[－2π3，0，cosx，x∈[0，π.求f(－16π3)的值．【思路点拨】将－163π转化为在[－23π，0)或在[0，π)上的角．【规范解答】因为f(x)的最小正周期为5π3，所以f(x＋5π3)＝f(x)，f(－163π)＝f(－16π3＋5π3)＝f(－11π3)＝f(－11π3＋5π3)＝f(－6π3)＝f(－6π3＋5π3)＝f(－π3)，8分又－π3∈[－2π3，0)，所以f(－π3)＝sin(－π3)＝－sinπ3＝－32，12分所以f(－163π)＝－32.14分【名师点评】有意识地利用周期性，进行函...