第2课时平面与平面垂直的判定1.了解二面角的概念.2.掌握平面与平面垂直的判定定理.3.能运用面面垂直的判定定理证明面面的垂直关系.1.二面角(1)定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作这个二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角来度量,平面角的度数就是二面角的度数.平面角是直角的二面角叫作直二面角.(3)记法:以直线AB为棱、半平面α,β为面的二面角,记作二面角α-AB-β,如图所示.名师点拨二面角的概念是平面几何中角的概念的扩展和延伸.平面角是从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形,二面角是从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形;平面角可以看作是一条射线绕端点旋转而成,二面角可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成.二面角定量地反映了两个相交平面的位置关系.【做一做1】有下列说法:①两个相交平面所组成的图形叫作二面角;②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成的角;③二面角的平面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:A2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图①②所示.(3)判定定理:名师点拨平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“若线面垂直,则面面垂直”.也就是说证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可.【做一做2】已知直线l⊥平面β,l⫋平面α,则()A.α⊥βB.α∥βC.α∥β或α⊥βD.α与β相交但不一定垂直答案:A题型一题型二题型三题型一平面与平面垂直的判定【例1】如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,AC∩BD=E,AD=2,AB=2ξ3,𝐵𝐶=6.求证:平面PBD⊥平面PAC.分析:条件中给出了线面垂直及底面梯形的形状.证明本题的突破口是在其中一个平面内找一条直线垂直于另外一个平面.题型一题型二题型三证明: PA⊥平面ABCD,BD⫋平面ABCD,∴BD⊥PA.又tan∠ABD=𝐴𝐷𝐴𝐵=ξ33,tan∠BAC=𝐵𝐶𝐴𝐵=ξ3,∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.∴∠AEB=90°,即BD⊥AC.又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. BD⫋平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.反思证明面面垂直有两个途径:一是定义,二是证明线面垂直,二者都是通过线线垂直来完成的.如果题目给出了长度、角度等条件,可以考虑用勾股定理或求角来证线线垂直,所以空间问题平面化是解决立体几何问题的重要思想.题型一题型二题型三【变式训练1】在三棱锥S-ABC中,∠BSC=90°,∠ASB=60°,∠ASC=60°,SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.证明:方法一:如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形,则AB=AC.∴AD⊥BC,SD⊥BC.∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又AD⊥BC,SD∩BC=D,∴AD⊥平面SBC. AD⫋平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.令SA=a,在△SBC中,SD=ξ22𝑎,又AD=ට𝐴𝐶2-𝐶𝐷2=ξ22𝑎,题型一题型二题型三方法二: SA=SB=SC=a,又∠ASB=∠ASC=60°,∴△ASB,△ASC都是等边三角形.∴AB=AC=a.作AD⊥平面BSC于点D, AB=AC=AS,∴D为△BSC的外心.又△BSC是以BC为斜边的直角三角形,∴D为BC的中点,故AD⫋平面ABC.∴平面ABC⊥平面SBC.题型一题型二题型三题型二求二面角的平面角【例2】如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,PO⊥底面ABCD,O为正方形ABCD的中心,PO=1,AB=2,求二面角P-AB-D的平面角的大小.分析:先找出二面角的平面角,再放在直角三角形中求解.题型一题型二题型三解:如图所示,取AB的中点E,连接PE,OE.由O为正方形ABCD的中心知AB⊥EO.由PA=PB,E为AB的中点,知AB⊥EP,所以∠PEO为二面角P-AB-D的平面角.在Rt△PEO中,tan∠PEO=𝑃𝑂𝑂𝐸=𝑃𝑂12𝐴𝐵=112×2=1.所以∠PEO=45°.故二面角P-AB-D的平面角的大小为45°.题...
