利用基本不等式的转化求最值【例1】已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值及此时x、y的值．8228018282()()10+8210+2=18822821126.12618.xyxyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因为＋－＝，所以＋＝，所以＋＝＋＋当且仅当＝，即＝时，等号成立．又＋＝，所以＝，＝故当＝，＝时，＋的最【小值是解析】本题是一个二元条件最值问题，看似平淡，但思想方法深刻、解法灵活多样，本解法是其中之一．对于xy与x＋y在同一等式中出现的问题往往可以利用基本不等式“”将它们联系起来进行放缩，以此来求取值范围是非常有效的．2xyxy【变式练习1】设x≥0，y≥0，x2＋y22＝1，则x1＋y2的最大值为324.【解法1】因为x≥0，y≥0，x2＋y22＝1所以x1＋y2＝x21＋y2＝2x21＋y22≤2x2＋1＋y222＝2x2＋y22＋122＝324，当且仅当x＝32，y＝22(即x2＝1＋y22)时，x1＋y2取得最大值324.【解法2】令x＝cosθy＝2sinθ(0≤θ≤π2)则x1＋y2＝cosθ1＋2sin2θ＝2cos2θ1＋2sin2θ·12≤12·[2cos2θ＋1＋2sin2θ2]2＝324，当2cos2θ＝1＋2sin2θ，即θ＝π6时，x＝32，y＝22时，x1＋y2取得最大值324.注意基本不等式的适用条件【例2】函数y＝m2＋1m2＋1的值域为____________．【解析】y＝m2＋1m2＋1＝(m2＋1)＋1m2＋1－1≥2－1＝1，所以值域为[1，＋∞)．本题是利用基本不等式求最值问题．注意”一正、二定、三相等”三个要素缺一不可．不正时添负号，不定时配凑，不等时可以拆分或者利用导数求单调性来解决．【变式练习2】(1)求函数y＝x＋1x－1(x≠1)的值域；(2)求函数y＝sin2x＋4sin2x的最小值．【解析】(1)当x>1时，y＝(x－1)＋1x－1＋1≥2＋1＝3，当x＝2时取等号，当x<1时，y＝－[(1－x)＋11－x]＋1≤－2＋1＝－1，当x＝0时取等号．所以函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)令sin2x＝t，(0
