1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则叫做向量a的坐标，叫做向量a的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA→＝，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝．互相垂直单位向量有序数对(x，y)a＝(x，y)(x,y)(x2－x1,y2－y1)2．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)探究点一平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．显然有，i＝，j＝，0＝．(1,0)(0,1)(0,0)问题1根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)．问题2当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量AB→＝(xB－xA，yB－yA)．所以相等向量的坐标相同，从原点出发的向量和平面直角坐标系的点是一一对应关系．请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量a，b，c，d所对应的点A，B，C，D.其中a＝OA→＝(1,3)；b＝OB→＝(－5，－2)；c＝OC→＝(－2，－2)；d＝OD→＝(2，－4)．答探究点二平面向量的坐标运算问题1已知a＝OA→，b＝OB→，c＝OC→，如下图所示，写出a，b，c的坐标，并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．易知：a＝(4,1)，b＝(－5,3)，c＝(1,1)，答OD→＝a＋b＝(－1,4)，BA→＝a－b＝(9，－2)，OF→＝a－3c＝(1，－2)．问题2一般地，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试写出a＋b，a－b，λa，λa＋μb的坐标．答 a＝(x1，y1)＝x1i＋y1j，b＝(x2，y2)＝x2i＋y2j.∴a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1i＋y1j)－(x2i＋y2j)＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝λ(x1i＋y1j)＝(λx1)i＋(λy1)j＝(λx1，λy1)；λa＋μb＝λ(x1i＋y1j)＋μ(x2i＋y2j)＝[(λx1)i＋(λy1)j]＋[(μx2)i＋(μy2)j]＝(λx1＋μx2)i＋(λy1＋μy2)j＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)．【典型例题】例1已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求：(1)AB→－AC→；(2)AB→＋2BC→；(3)BC→－12AC→.解 A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．∴AB→＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，AC→＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)，BC→＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．∴(1)AB→－AC→＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)．(2)AB→＋2BC→＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．(3)BC→－12AC→＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)．小结(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．跟踪训练1已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－13b.解(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．(3)12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝－12，1－23，13＝－76，23.例2已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.解设c＝xa＋yb，则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，∴10＝－2x＋3y，－4＝3x＋y，解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.小结待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向...
