7.3球1.理解球的截面,并能解决相关问题.2.了解圆的切线的相关概念,记住球的表面积和体积公式.3.会用球的表面积公式和体积公式进行有关计算,并能解决一些简单的实际问题.1.球的截面(1)如图,用一个平面α去截半径为R的球O,截面是圆面O',则球心与截面圆心的连线OO'垂直于截面.设球心到截面的距离为d,☉O'的半径为r,则有如下关系:R2=r2+d2.(2)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆;被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆.2.球的切线当直线与球有唯一交点时,称直线与圆相切,其中它们的交点称为直线与球的切点,过球外一点的所有切线的长度都相等.3.球的体积4.球的表面积设球的半径为R,那么它的表面积S=4πR2.说明:(1)球的表面积和体积公式均是关于球的半径的函数.(2)球的表面不像柱体、锥体和台体那样可以展开在一个平面上,即使是球面上任意小的一块,也不能展开在一个平面上,因此球的表面没有展开图.设球的半径为R,那么它的体积V=43πR3.【做一做1】直径为6的球的表面积和体积分别是()A.144π,144πB.144π,36πC.36π,144πD.36π,36π答案:D【做一做2】8个半径为1的铁球,熔化成一个大球,则大球的表面积是.答案:16π解:设球的半径为R,截面圆的半径为r,则R2=ቀ𝑅2ቁ2+r2,由题意,得πr2=48π,解得r2=48,所以R2=ቀ𝑅2ቁ2+48.解得R=8.故球的表面积S=4πR2=256π(cm2).【做一做3】过球的某一条半径的中点,作一个垂直于这条半径的截面,截面面积为48πcm2,求球的表面积.题型一题型二题型三题型四题型一球的表面积公式的应用【例1】在球内有相距为1的两个平行截面,截面面积分别是5π和8π,球心不在两截面之间,求球的表面积.分析:求球的表面积或体积只需要求出球的半径,要求球的半径只需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形.设两平行截面圆的半径分别为r1和r2,且r1>r2.依题意有π𝑟12=8π,π𝑟22=5π,所以𝑟12=8,𝑟22=5.因为OA1和OA2都是球的半径R,所以OC1=ට𝑅2-𝑟12=ට𝑅2-8,OC2=ට𝑅2-𝑟22=ට𝑅2-5,所以ට𝑅2-5−ට𝑅2-8=1,解得R2=9.所以S球=4πR2=4π·9=36π.题型一题型二题型三题型四解:设球的半径为R,过截面圆圆心作垂直于截面的球的轴截面(过轴的截面),如图所示.圆O是圆心在球心的圆,A1B1,A2B2分别是两个平行截面圆的直径.过圆心O作OC1垂直A1B1于点C1,并延长交A2B2于点C2.因为A1B1∥A2B2,所以OC2⊥A2B2.由圆的性质可得,C1和C2分别是A1B1和A2B2的中点.题型一题型二题型三题型四反思球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题转化为圆的问题的关键,因此必须抓住球的轴截面,利用其性质列出方程(组),求球的半径,进而解决问题.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】三个球的半径之比为1∶2∶3,则最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()答案:CA.1倍B.2倍C.95倍D.74倍解析:设最小的一个球的半径为r,则另外两个球的半径分别为2r,3r,所以各球的表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2,故最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比为36π𝑟24π𝑟2+16π𝑟2=95.题型一题型二题型三题型四题型二球的体积计算【例2】一种空心钢球的质量为142g,外径是5.0cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3).解:设空心钢球的内径为2rcm,则钢球质量为7.9×43π×ቀ52ቁ3-43π𝑟3൨=142(g),解得r3=ቀ52ቁ3−142×37.9×4π≈11.3.所以r≈2.25(cm),2r=4.5(cm),因此,空心钢球的内径约为4.5cm.反思计算球的体积或体积的简单应用都需要认真解决球的半径问题.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】一个平面截一球得到直径为6cm的圆面,球心到这个截面的距离为4cm,则球的体积为.解析:如图所示,由已知,O1A=3cm,OO1=4cm,∴R=OA=5cm,∴V球=4π3×53=500π3(cm3).答案:500π3cm3题型一题型二题型三题型四题型三与球有关的体积计算【例3】在球面上有四个点P,A,B,C,如果PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的体积.分析:因为PA,PB,PC是两两互相垂直且相等的三条棱,所以可以将三棱锥P-ABC看成一个正方体的一角,P,A,B,C四点在球面上,所以此球可视为以PA,PB,PC为相邻三条棱的正方体的外接球,其直径为正方体的体对角线.题型一题型二题型三题型四解:设球的半径为R,因为PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=...
