•1．知识与技能•了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问题之中．会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质及图形四者之间的内在联系，分析和解决实际问题．•2．过程与方法•在与椭圆的性质类比中获得双曲线的几何性质，进一步体会数形结合的思想．掌握利用方程研究曲线的性质的基本方法．•3．情感、态度与价值观•使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用，从而培养学生分析、归纳、类比、推理等能力．•本节重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质．•本节难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用．•1．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．•2．要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．•3．要理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．•5．根据双曲线的渐近线方程求双曲线方程的方法：如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程为A2x2－B2y2＝m(m≠0)，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定．4．根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把标准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0即y＝±bax；双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y2a2－x2b2＝0，即y＝±abx.•双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点焦距范围顶点对称性轴长实轴长＝，虚轴长＝.渐近线离心率e＝(e>1)2a2b(－a,0)、(a,0)(0，－a)、(0，a)关于x轴、y轴和原点对称|F1F2|＝2cF1(－c,0)、F2(c,0)F1(0，－c)、F2(0，c)x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R[例1]求过点(2，－2)且与x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线的方程．[解析]解法一：当焦点在x轴上时，由于ba＝22，故可设方程为x22b2－y2b2＝1，代入点(2，－2)，得b2＝－2(舍去)．当焦点在y轴上时，可知ab＝22，故可设方程为y2a2－x22a2＝1，代入点(2，－2)，得a2＝2，∴所求双曲线方程为y22－x24＝1.解法二：因为所求双曲线与已知双曲线x22－y2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为x22－y21＝λ，代入点(2，－2)，得λ＝－2.∴所求双曲线的方程为x22－y2＝－2，即y22－x24＝1.[说明]由于双曲线x22－y2＝1的渐近线方程为y＝±22x，但焦点的位置不确定，所以应进行分类讨论．已知双曲线的渐近线方程为y＝±12x，焦距为10，求双曲线方程．[解析]解法1：当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，由渐近线方程为y＝±12x得，ba＝12，2c＝10，由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2＝5.∴双曲线方程为x220－y25＝1.同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线方程为y25－x220＝1.即所求双曲线方程为x220－y25＝1或y25－x220＝1.解法2：由渐近线方程为y＝±12x可设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，即x24λ－y2λ＝1.由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.∴所求双曲线方程为x220－y25＝1或y25－x220＝1.[例2]已知双曲线的渐近线方程为y＝±34x，求此双曲线的离心率．[解析]当焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±bax，依题意，得ba＝34，b＝34a，c＝a2＋b2＝54a，∴e＝ca＝54；当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±abx，依题意，得ab＝34，b＝43a，c＝a2＋b2＝53a，∴e＝ca＝53.∴此双曲线的离心率为54或53.•[说明]本题的主线是渐近线与离心率的关系，注意对焦点在x轴或y轴上两种进行分类讨论．[例3]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(0
