1.5平面直角坐标系中的距离公式第1课时两点间的距离公式1.掌握数轴、平面上两点间的距离公式.2.会用公式求两点间的距离.1.两点间的距离公式(1)数轴上:一般地,数轴上两点A,B对应的实数分别为xA,xB,则|AB|=|xB-xA|.(2)平面直角坐标系中:一般地,若两点A,B对应的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则有两点A,B间的距离公式|AB|=ට(𝑥2-𝑥1)2+(𝑦2-𝑦1)2.名师点拨(1)平面直角坐标系内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广.特别地,当P1P2垂直于坐标轴或在坐标轴上时,有|P1P2|=ට(𝑥2-𝑥1)2=|x2-x1|(P1P2⊥y轴);|P1P2|=ට(𝑦2-𝑦1)2=|y2-y1|(P1P2⊥x轴).原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离为|OP|=ඥ𝑥2+𝑦2.(2)两点间的距离公式的特征:两点间距离的平方等于两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和.公式可简记为“纵差方,横差方,加起来,开平方”.2.坐标法坐标法又称解析法,根据图形特点,建立适当的直角坐标系,利用坐标解决有关问题,即用坐标代替点,用方程代替曲线,用代数的方法研究平面图形的几何性质.【做一做】P1(-1,3),P2(2,5)两点之间的距离为.解析:|P1P2|=ට(-1-2)2+(3-5)2=ξ13.答案:ξ13题型一题型二题型三题型一求两点间的距离【例1】(1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5,-3)到原点的距离相等,则点M的坐标为.(2)直线2x+my+2=0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为.分析:(1)利用两点间的距离公式,根据距离相等建立等式;(2)先求直线与x,y轴的交点,然后利用公式求两点间的距离.题型一题型二题型三解析:(1)设点M(x,0)(x>0),由题意可知,ξ𝑥2+02=ට52+(-3)2,解得x=ξ34.所以点M的坐标为(ξ34,0).(2)直线2x+my+2=0与x轴的交点为(-1,0),与y轴的交点为ቀ0,-2𝑚ቁ,所以两交点之间的距离为ට(-1-0)2+ቀ0+2𝑚ቁ2=ට1+4𝑚2(m≠0).答案:(1)(ξ34,0)(2)ට1+4𝑚2(m≠0)题型一题型二题型三反思利用两点间的距离公式求参数的值的方法及技巧:(1)常用方法是待定系数法,即先设出所求点的坐标,利用两点间的距离公式建立方程,再利用方程的思想求解参数.(2)解决此类问题时,常常需要结合图形,直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系,然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题来解决.题型一题型二题型三【变式训练1】已知点A(-1,2),B(2,ξ7),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解:点P在x轴上,故可设P(x,0),由两点间的距离公式得,|PA|=ට(𝑥+1)2+(0-2)2=ξ𝑥2+2𝑥+5,|PB|=ට(𝑥-2)2+(0-ξ7)2=ට𝑥2-4𝑥+11. |PA|=|PB|,∴ξ𝑥2+2𝑥+5=ට𝑥2-4𝑥+11,解得x=1,即所求点P的坐标为(1,0),则|PA|=ξ1+2+5=2ξ2.题型一题型二题型三题型二两点间距离公式的应用【例2】在平面直角坐标系中,点A,B分别是x轴、y轴上两个动点,又有一定点M(3,4),求|MA|+|AB|+|BM|的最小值.分析:根据已知点的坐标画出图形分析,数形结合求解,注意A,B是否与原点重合.题型一题型二题型三解:依题意,作出如图所示的示意图.设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(-3,4),关于x轴的对称点为Q(3,-4),则|MB|=|PB|,|MA|=|AQ|,当点A与B重合于坐标原点O时,|MA|+|AB|+|BM|=|PO|+|OQ|=|PQ|=ට[3-(-3)]2+(-4-4)2=10;当点A与B不重合时,|MA|+|AB|+|BM|=|PB|+|AB|+|AQ|>|PQ|=10.所以当点A与B重合于坐标原点O时,|MA|+|AB|+|BM|取得最小值10.反思利用两点间的距离公式求最值问题,数形结合是首选.题型一题型二题型三【变式训练2】在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.解析:由题意知A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)可构成四边形,则四边形ABCD对角线的交点到四点的距离之和最小,直线AC的方程为2x-y=0,直线BD的方程为x+y-6=0,所以其交点坐标为(2,4).答案:(2,4)题型一题型二题型三题型三用坐标法证明平面几何问题【例3】在正方形ABCD中,E,F分别是BC,AB的中点,DE,CF交于点G.求证:AG=AD.分析本题考查用坐标法证明平面几何问题,关键是把几何证明转化为代数运算.可利用题中的垂直关系建立坐标系、设点、运算.题型一题型二题型三证明建立如图所示的直角坐标系,设正方形边长为2,则B(0,0),C(2,0),A(0,2),E(1,0),F(0,1),D(2,2).直线DE的方程为y=2x-2,直线CF的方程为y=-12x+1,由൝𝑦=2𝑥-2,𝑦=-12𝑥+1,得ቐ𝑥=65,𝑦=25,即点Gቀ65,25...
