3．3.2函数的极值与导数学习目标1.结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件．2.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值．课堂互动讲练知能优化训练3.3.2课前自主学案课前自主学案温故夯基1．如果函数y＝f(x)在某个区间内单调递增或单调递减，函数的导数f′(x)不一定就恒正或恒负.2．函数y＝x3－x＋6的单调递增区间是________________________.(－∞，－33)，(33，＋∞)知新益能1．极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧_________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)<0f′(x)>02．极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．_________、_________统称为极值点，_______和_______统称为极值．f′(x)>0f′(x)<0极大值点极小值点极大值极小值问题探究1．函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是惟一的吗？提示：不一定；不一定惟一．2．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．课堂互动讲练求已知函数的极值考点突破求函数极值的步骤：(1)求f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；(2)用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；(3)由f′(x)在各个小区间内的符号，判断函数的极值情况．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝lnxx.例例11【思路点拨】从方程f′(x)＝0入手，在函数的定义域内求出此方程所有的根，判断函数在这些点处是否存在极值，进而问题获解．【解】(1)f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增10单调递减－22单调递增因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－lnxx2，令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增1e单调递减故当x＝e时函数取得极大值，且极大值为f(e)＝1e.变式训练求函数f(x)＝x3－12x的极值．解：函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化状态如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值f(－2)极小值f(2)所以当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．已知极值求参数已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．例例22【思路点拨】先求导数f′(x)，再令f′(x)＝0得到关于x的一元二次方程，其两根为x1＝1与x2＝－23，最后由一元二次方程根与系数的关系求a，b的值．【解】(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0.由题设，知x1＝1与x2＝－23为f′(x)＝0的解．∴－23a＝1－23，b3＝1×(－23)．∴a＝－12，b＝－2.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1.∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1.∴f′(x)＝3x2－x－2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－23)－23(－23，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值...
