百度文库-让每个人平等地提升自我1偏微分大作业一维热传导方程问题——运用隐式格式求解数值解百度文库-让每个人平等地提升自我2目录问题描述...........................................................................................................................................31解析解——分离变量法................................................................................................................32数值解——隐式格式....................................................................................................................53证明隐式格式的相容性与稳定性................................................................................................54数值解——分析与Matlab实现..................................................................................................65数值解与解析解的比较................................................................................................................96随时间变化的细杆上的温度分布情况......................................................................................117稳定后细杆上的温度分布情况...................................................................................................13参考文献.........................................................................................................................................13附录.................................................................................................................................................133有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入100℃的沸水中,当细杆的温度达到100℃时取出。假设细杆四周绝热;在时间t=0时,细杆两端浸入0℃的冰水中。一维热传导方程:20txxuau,现在令21a,从而可知本题:0txxuu。现在要求细杆温度分布:(,)uxt。1解析解——分离变量法热传导偏微分方程:0txxuu(1)(0,t)(1,t)0uu(0)()uxx,其中,001xx,或()x100(0,1)x,首先令:(,)()()uxtXxTt(2)将(2)式带入(1)式得:()T()()()0XxtTtXx于是可得:T()()()()tXxTtXx可以得到两个微分方程:T()()0tTt()()0XxXx先求解空间项:当0时,()xxXxAeBe由于(0,t)(1,t)0,.uut4可知:由于解的收敛性,0B(0)=(1)00XXAAeA则此时是平庸解。当0时,()XxABx(0)=(1)00,0XXAABAB则此时是平庸解。当0时,()cossinXxAkxBkx,其中k。(0)00XAA(1)sin0,1,2,3...XBkknn所以,()sin()nXxBnx,1,2,3...n因为22n所以,22()ntnTtCe,1,2,3...n则,221(,)sin()ntnnuxtDenx初始条件:(0)()uxx,1(0)sin()()nnuxDnxx,102()sin()nDxnxdx12100sin()1200()cos(1)cosnxdxnnn2000lim=(1cos)nDnn当时,最终,221200(,)(1(1))sin()nntnuxtenxn,1,2,3...n52数值解——隐式格式目前,研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。这里使用隐式格式1。利用(,)uxt,关于t进行向前差商:1kkjjUUt;关于x进行二阶中心差:1111122()kkkjjjUUUx;代入偏微分方程可以得到隐式差分格式:11111122()kkkkkjjjjjUUUUUtx(1)3证明隐式格式的相容性与稳定性(1)相容性2122222122331222212233122Taylor1=+()211+()()2211+()()22kkjjkkjjkkjjUUUUtttttUUUUUUttxxtxttxxUUUUUUttxxtxttxx根据展开:代入隐式格式得:2222221()=+()()2UUUtttxttx(2)将(2)与原微分方程相减,得到截断误差:221=-()02Utxt所以此隐式格式与原微分方程相容。6(2)稳定性令网格比为2rtx,则可以将(1)式改写得到:11111(12)kkkkjjjjrUrUrUU(3)首先令:11(-111111(+1+1kkIjjkkIjjkkIjjkkIjjUUeUUeUUeUUe))(4)将(4)代入(3)式,根据欧拉公式化简得:11+22cos)kkUrrU((5)故得放大因子是:1111+2(1cos)kkUGUr所以根据Fourier方法,隐式格式恒稳定。4数值解——分析与Matlab实现(1)边值与初值离散化将边值与初值离散化,与式(3)联立得差分线性方程组:11111(1...