百度文库-让每个人平等地提升自我1偏微分大作业一维热传导方程问题——运用隐式格式求解数值解百度文库-让每个人平等地提升自我2目录问题描述...........................................................................................................................................31解析解——分离变量法................................................................................................................32数值解——隐式格式....................................................................................................................53证明隐式格式的相容性与稳定性................................................................................................54数值解——分析与Matlab实现..................................................................................................65数值解与解析解的比较................................................................................................................96随时间变化的细杆上的温度分布情况......................................................................................117稳定后细杆上的温度分布情况...................................................................................................13参考文献.........................................................................................................................................13附录.................................................................................................................................................133有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入100℃的沸水中，当细杆的温度达到100℃时取出。假设细杆四周绝热；在时间t=0时，细杆两端浸入0℃的冰水中。一维热传导方程：20txxuau，现在令21a，从而可知本题：0txxuu。现在要求细杆温度分布：(,)uxt。1解析解——分离变量法热传导偏微分方程：0txxuu(1)(0,t)(1,t)0uu(0)()uxx，其中，001xx，或()x100(0,1)x，首先令：(,)()()uxtXxTt(2)将(2)式带入(1)式得：()T()()()0XxtTtXx于是可得：T()()()()tXxTtXx可以得到两个微分方程：T()()0tTt()()0XxXx先求解空间项：当0时，()xxXxAeBe由于(0,t)(1,t)0,.uut4可知:由于解的收敛性，0B(0)=(1)00XXAAeA则此时是平庸解。当0时，()XxABx(0)=(1)00,0XXAABAB则此时是平庸解。当0时，()cossinXxAkxBkx，其中k。(0)00XAA(1)sin0,1,2,3...XBkknn所以，()sin()nXxBnx，1,2,3...n因为22n所以，22()ntnTtCe，1,2,3...n则，221(,)sin()ntnnuxtDenx初始条件：(0)()uxx，1(0)sin()()nnuxDnxx，102()sin()nDxnxdx12100sin()1200()cos(1)cosnxdxnnn2000lim=(1cos)nDnn当时，最终，221200(,)(1(1))sin()nntnuxtenxn，1,2,3...n52数值解——隐式格式目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。这里使用隐式格式1。利用(,)uxt，关于t进行向前差商：1kkjjUUt；关于x进行二阶中心差：1111122()kkkjjjUUUx；代入偏微分方程可以得到隐式差分格式：11111122()kkkkkjjjjjUUUUUtx（1）3证明隐式格式的相容性与稳定性（1）相容性2122222122331222212233122Taylor1=+()211+()()2211+()()22kkjjkkjjkkjjUUUUtttttUUUUUUttxxtxttxxUUUUUUttxxtxttxx根据展开：代入隐式格式得：2222221()=+()()2UUUtttxttx(2)将（2）与原微分方程相减，得到截断误差：221=-()02Utxt所以此隐式格式与原微分方程相容。6（2）稳定性令网格比为2rtx，则可以将（1）式改写得到：11111(12)kkkkjjjjrUrUrUU（3）首先令：11(-111111(+1+1kkIjjkkIjjkkIjjkkIjjUUeUUeUUeUUe））（4）将（4）代入（3）式，根据欧拉公式化简得：11+22cos)kkUrrU（（5）故得放大因子是：1111+2(1cos)kkUGUr所以根据Fourier方法，隐式格式恒稳定。4数值解——分析与Matlab实现（1）边值与初值离散化将边值与初值离散化，与式（3）联立得差分线性方程组：11111(1...
