第三节定积分与微积分基本定理第三节定积分与微积分基本定理考点串串讲1．定积分(1)定积分的定义一般地，设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分为n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)．当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃbaf(x)dx，即ʃbaf(x)dx＝limn∞i＝1nb－anf(ξi)，其中f(x)叫做被积函数，区间[a，b]叫做积分区间，a叫做积分下限，b叫做积分上限，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤①分割：n等分区间[a，b]；②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；③求和：i＝1nf(ξi)·b－an；④求极限：S＝limn∞i＝1nf(ξi)·b－an.注意“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．(3)定积分的几何意义设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象连续且恒有f(x)≥0，则定积分ʃbaf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(4)求和时常用的结论①1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.②12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．③13＋23＋…＋n3＝[nn＋12]2.定积分是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即ʃbaf(x)dx＝ʃbaf(t)dt＝ʃbaf(u)du.(5)ʃbaf(x)dx，ʃba|f(x)|dx，|ʃbaf(x)dx|三者的区别注意ʃbaf(x)dx，ʃba|f(x)|dx，|ʃbaf(x)dx|三者在几何意义上的不同．当f(x)≥0即函数f(x)的图象全部在x轴上方时，ʃbaf(x)dx＝ʃba|f(x)|dx＝|ʃbaf(x)dx|表示界于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边形的面积；当f(x)≤0即函数的图象全部在x轴下方时，ʃba|f(x)|dx＝|ʃbaf(x)dx|表示界于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边形的面积，而ʃbaf(x)dx＜0，其结果是面积的相反数；当函数f(x)的图象在x轴上方和下方都有时，ʃbaf(x)dx表示界于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正值，在x轴下方的面积取负值，ʃba|f(x)|dx表示界于x轴、曲线y＝|f(x)|以及直线x＝a，x＝b之间的曲边形的面积，如图所示．2．微积分的基本定理(1)微积分基本定理实质微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．(2)用微积分基本定理求定积分的步骤①求f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(3)微积分基本定理的应用①利用微积分基本定理求曲边梯形的面积．②求定积分中的参数问题．③求变速直线运动的路程．④求变力所做的功等问题．3．求几何图形的面积：(1)在直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b(a≠b)和x轴围成的曲边梯形的面积的求法分为以下几种情况：①y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，x＝a，x＝b(a＜b)和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝ʃbaf(x)dx(这时曲线全部在x轴上方)；②如果在[a，b]上，f(x)≤0，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝ʃba|f(x)|dx＝－ʃbaf(x)dx(这时曲线全部在x轴下方)；③如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在x轴上方和下方都有图象，例如：在(a，c)上位于x轴上方，在(c，b)上位于x轴下方，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝ʃcaf(x)dx＋ʃbc|f(x)|dx＝ʃcaf(x)dx－ʃbcf(x)dx.(2)由曲线y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线x＝a，x＝b(a＜b)围成的图形的面积为S＝ʃba[f(x)－g(x)]dx.(3)利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤①根据题意画出图形；②根据范围，定出积分上、下限；③确定被积函数；④写出相应的定积分表达式；⑤用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．4．微积分在物理中的应用(1)变速直线运动路程作变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ʃbav(t)dt.(2)变力做功①恒力F的做功公式一物体的恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物...
