二项式定理1112113311464115101051…………………………………………二项式定理(a+b)²=a²+2ab+b²=C20a²+C21ab+C22b²(a+b)3=a3+3a²b+3ab²+b3=C30a3+C31a²b+C32ab²+C33b3问题：如何将（a+b）4以至于(a+b)5,（a+b）6……展开呢？﹙a+b﹚4=a+ba+ba+ba+b﹙﹚﹙﹚﹙﹚﹙﹚=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4在上面的4个括号中每个都不取b的情况有C40种，即a4的系数是C40恰有一个取b的情况有C41种，即a3b的系数是C41恰有两个取b的情况有C42种，即a2b2的系数是C42恰有三个取b的情况有C43种，即ab3的系数是C43四个都取b的情况有C44种，即b4的系数是C44nba)(222110baCbaCaCnnnnnnnnnrrnrnbbaCC二项式的展开式：右边的多项式二项式系数：各项的系数Cnr（r=0，1，2，3，…，n）通项Tr+1：Tr+1=Cnran-rbr另外，在二项式定理中如果设a=1，b=x，则得到公式：（1+x）n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnkxk…+Cnnxn二项式的展开式的特征：观察二项式的展开式，我们可以发现，它具有以下特征：（1）展开式共有n+1项（2）字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n，各顶的次数相同都是n。（3）各项的系数(二项式系数)Cn0，Cn1，…Cnn下标相同，上标依次递增。例1:求(1-x)n的展开式•解:在二项式定理中取a=1,b=-x,则得到:•(1-x)n=1+Cn1(-x)+Cn2(-x)2+…+Cnk(-x)k+…+Cnn(-x)n•=1-Cn1x+Cn2x2+….+(-1)kCnkxk+….+(-1)nxn例2:求(2√x-1/√x)6的展开式•解:(2√x-1/√x)6=[(2x-1)/√x]6=1/x3(2x-1)6•=1/X3[(2x)6-C61(2x)5+C62(2x)4-C63(2x)3+C64(2x)2-C65(2x)+C66]•=1/x3(64x6-6*32x5+15*16x4-20*8x3+15*4x2-6*2x+1)•=64x3-192x2+240x-160+60/x-12/x2+1/x3课堂分组练习:•(1)写出(a+b)5的展开式•(2)写出(x+1/x)4的展开式解:(1)(a+b)5=C50a5+C51a4b+C52a3b2+C53a2b3+C54ab4+C55b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5(2)(x+1/x)4=C40x4+C41x3(1/x)+C42x2(1/x)2+C43x(1/x)3+C44(1/x)4=x4+4x2+6+4/x2+1/x4例3：﹙1﹚写出﹙1+2x﹚7的展开式的第4项的系数.﹙2﹚写出﹙x+a﹚12的展开式的倒数第4项.解：﹙1﹚根据二项式展开式的通项﹙1+2x﹚7的第4项是T3+1=C73＊17-3＊﹙2x﹚3=C73＊23x3=35＊8x3=280x3所以第４项的系数是280﹙2x+a﹚﹙﹚12的展开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项，由通项公式得：T10=T9+1=C129x12-9a9=220x3a9巩固练习:•(1)求(x-1/x)9的展开式中x3的系数.•(2)求(2a+3b)6的展开式的第3项.•解:(1)根据通项公式得•Tr+1=C9rx9-r(-1/x)r=(-1)rC9rx9-2r•9-2r=3•r=3•所以x3的系数是-C93=-84•(2)根据通项公式得•T3=T2+1=C62(2a)4(3b)2=2160a4b2•小结:谢谢
