高三数学总复习导与练 第六篇第四节配套课件(教师用) 理 课件VIP专享VIP免费

第4节数列求和考纲展示考纲解读1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2.掌握非等差、非等比数列求和的常用方法.1.等差数列和等比数列前n项和公式是非等差、非等比数列求和的基础，也是高考考查的重点．2.对非等差、非等比数列的求和，通常涉及倒序相加法求和、错位相减法求和以及裂项相消法求和，体现转化与化归思想．主要考查观察分析及运算化简能力．3.数列求和常与函数、方程、不等式等知识联系，综合性强，往往成为高考命题的中、高档试题.数列求和的常用方法(1)公式法①直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和．②一些常见的数列的前n项和a．1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋12；b．12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16；c．2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；d．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；e．13＋23＋…＋n3＝[nn＋12]2＝n2n＋124.(2)倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两端“等距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．若数列{an}的通项能转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求和，如对公差为d的等差数列{an}有1anan＋1＝1d(1an－1an＋1)，1an·an＋2＝12d(1an－1an＋2)．(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，若可两两结合求解，则可用并项求和法．例如Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(C)(A)2n＋n2－1(B)2n＋1＋n2－1(C)2n＋1＋n2－2(D)2n＋n2－2解析： an＝2n＋2n－1∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝2n＋1－2＋n2.即Sn＝2n＋1＋n2－2.故选C.2．已知数列{an}的通项公式是an＝1n＋n＋1，若Sn＝10，则n的值是(C)(A)11(B)99(C)120(D)121解析： an＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴Sn＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.令Sn＝10，解得n＝120.故选C.3．(教材改编题)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于(B)(A)1(B)56(C)16(D)130解析： an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴S5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.故选B.4．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＋S33＋S50等于________．解析：由题意知Sn＝n＋12n为奇数，－n2n为偶数.∴S17＝9，S33＝17，S50＝－25，∴S17＋S33＋S50＝1.答案：1分组转化求和【例1】求和Sn＝32＋94＋258＋6516＋…＋n·2n＋12n.思路点拨：将已知数列的各项变形，分组，然后求和．解：由于an＝n·2n＋12n＝n＋12n，∴Sn＝(1＋121)＋(2＋122)＋(3＋123)＋…＋(n＋12n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋122＋123＋…＋12n)＝n＋1n2＋121－12n1－12＝nn＋12－12n＋1.某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．裂项相消法求和【例2】(2010年高考山东卷)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1an2－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.审题指导：解：(1)设等差数列{an}的公差为d，设出公差d a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝72a1＋10d＝26，解得a1＝3d＝2，利用方程思想求出公差d和首项a1∴an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.根据等差数列的通项公式和前n项和公式求出an和Sn(2)由(1)知，an＝2n＋1，∴bn＝1an2－1＝12n＋12－1＝14nn＋1＝14(1n－1n＋1)，写出bn的表达式并化简变形，根据结构特征，选择求和方法∴Tn＝14[(11－12)＋...