高考数学一轮复习 第六讲 空间角课件 新人教版 课件VIP专享VIP免费

●基础知识一、空间角空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角都可以看成是角的概念在空间的拓广，三种角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的“”角来计算的．确切地说，是化归到一个三角形中，通过解三角形求其大小．由于引入了空间向量，三种角的计算除以上方法外，还可考虑采用向量方法进行处理．二、三种角的概念、取值范围及作法(1)异面直线所成的角：在空间取一点O，过O点分别作两异面直线的线所成的叫做两条异面直线所成的角．其取值范围为(0，]．作法：平移法．(2)直线和平面所成的角：如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为；如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为；如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的所成的角，称之为直线和平面所成的角．因此，直线和平面所成角的取值范围是[0，]．平行锐角或直角0射影锐作法：几何法：引垂线，找垂足，连接垂足、斜足得射影．温馨提示利用几何法求线面角时，可过斜线上一点作已知平面的垂线．若垂足不好作出，则可借助垂面．(3)二面角的平面角：从一条直线出发的两个组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上一点为端点，在两个面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．其取值范围为[0，π]．半平面任意垂直于棱作二面角的平面角的常用方法有：①定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，，则形成二面角的平面角．②三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P，于是∠PBA(或其补角)是二面角的平面角．分别在两个面内作垂直于棱的两条射线作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直③垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别与两个面的交线，构成二面角的平面角．常用面积的射影定理来求二面角，即S·cosθ＝S射，它的优点是不必作出二面角的平面角．归纳拓展(1)空间角的计算步骤：一找(作)，二证，三计算．(2)特别注意三种空间角的取值范围．●易错知识一、找错平面角致误1．如图是三个全等的矩形构成的空间图形，D为AC的中点，若AB1⊥BC1，求二面角D－BC1－C的大小．错解：设BC1∩B1C＝O，连结DO，则OD∥AB1，因为AB1⊥BC1，所以OD⊥BC1.而OC是OD在平面B1BCC1内的射影，所以OC⊥BC1，故∠DOC为所求二面角的平面角．所以B1BCC1为正方形．分析：把OC当成OD在平面B1BCC1内的射影，从而找错了平面角．正解：设BC1∩B1C＝O，连结OD.因为AB1∥OD，AB1⊥BC1，所以OD⊥BC1.因为BB1⊥BC，BB1⊥AB，AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC.所以平面ABC⊥平面B1BCC1.过D作DE⊥BC于E，则DE⊥平面B1BC1C.连结OE，由三垂线定理的逆定理得OE⊥BC1.所以∠DOE为二面角D－BC1－C的平面角．设AB＝BC＝AC＝2a，取BC的中点F，连结AF、OF，故AF易知OF⊥BC.在△BOE中，所以∠DOE＝45°.故二面角D－BC1－C的大小为45°.二、考虑问题不全面导致错误2．a、b是所成角为80°的异面直线，过空间一点P作直线l.(1)使l与a、b所成的角均为80°，这样的直线l一共有条．(2)若l与a、b所成的角均为50°，这样的直线l一共有条43●回归教材1．(2009·湖北黄冈一模)设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为()A．R＝P⊆QB．R⊆P⊆QC．P⊆R⊆QD．R⊆P＝Q解析：因为P＝[0，]，Q＝[0，π]，R＝(0，]，所以R⊆P⊆Q.故选B.答案：B2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BC1和B1D1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：连接AD1、AB1， AB綊A1B1綊C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，∴∠AD1B1就是BC1和B1D1所成的角或其补角．在△AB1D1中， AD1＝B1D1＝AB1，∴∠AD1B1＝60°，∴BC1和B1D1所成的角为60°.答案：C3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与截面BB1D1D所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：连结A1C1，交B1D1于O1，则B1D1⊥A1C1，又BB1⊥A1C1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，连结O1B，则∠C1BO1就是所要求的线面角．设正方体棱长为1...