2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1.掌握空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义中“不同在”的含义.2.知道两条异面直线所成角的意义,掌握两条直线垂直的含义.3.理解并掌握公理4和等角定理,并能解决有关问题.123451.异面直线(1)概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)图示:如图,为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托.12345【做一做1】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的棱是()A.ABB.BB1C.DD1D.B1C1解析:AA1∥BB1,AA1∥DD1,AA1∩AB=A,AA1与B1C1是异面直线.答案:D123452.空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交在同一平面内1平行在同一平面内0异面不同在任何一个平面内0名师点拨1.若无特别说明,本书中的两条直线均指不重合的两条直线.2.空间两条直线的位置关系空间两条直线൞共面ቊ相交平行异面12345【做一做2】不平行的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.相交或异面解析:由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面.答案:D123453.公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行图形语言符号语言直线a,b,c,且a∥b,b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性12345【做一做3】如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点,求证:EE'∥FF'.证明:在正方体ABCD-A'B'C'D'中,因为E,E'分别是AB,A'B'的中点,所以BE∥B'E',且BE=B'E'.所以四边形EBB'E'是平行四边形.所以EE'∥BB'.同理可证FF'∥BB',所以EE'∥FF'.123454.等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补图形语言符号语言OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°作用证明两个角相等或互补12345归纳总结等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,当这两个角的两边方向分别相同或相反时,它们相等,否则它们互补.12345【做一做4】已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=()A.30°B.150°C.30°或150°D.60°答案:C123455.两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).名师点拨在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,是通过转化为相交直线所成的角来解决的.12345(2)异面直线所成的角α的范围:0°<α≤90°.(3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.【做一做5】在长方体ABCD-A'B'C'D'中,与棱AA'垂直且异面的棱有.答案:BC,B'C',CD,C'D'121.对异面直线的理解剖析:异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.要注意异面直线定义中“任何”两字,它指空间中的所有平面,因此异面直线也可以理解为:如果a与b是异面直线,那么在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b这两条直线.12例如,在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB和B1C1所在的直线既不平行也不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线,则AB和B1C1是异面直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异面.有以下方法可以判断两条直线是异面直线:(1)定义法(直观判断法):由定义判断两条直线不可能在同一个平面内.或者用下面的结论:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.12用符号语言表示为:B∉α,A∈α,a⊂α,A∉a,则a与直线AB为异面直线.图形如图所示.(2)排除法:排除两条直线共面(平行或相交),则这两条直线是异面直线.122.作出两条异面直线所成的角剖析:根据异面直线所成角的定义,通常在两条异面直线中的一条直线上取一点,然后作另一条直线的平行线即可.但是,在作辅助线之前最好观察图形,看看在所给的图形中,有没有满足定义的角,如果没有,再作辅助线.12例如,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB和B1C1是异面直线...
