高中数学(第二辑)平面向量共线的坐标表示课件VIP专享VIP免费

1．两向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有.(2)当a∥b且x2y2≠0时，有.即两向量的相应坐标成比例．x1y2－x2y1＝0x1x2＝y1y22．若P1P→＝λPP2→，则P与P1、P2三点共线．当λ∈时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈时，P位于线段P1P2的反向延长线上.(0∞，＋)(∞－，－1)(－1,0)探究点一平面向量共线的坐标表示a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？问题1设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0，请你写出证明过程．答 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.∴x2，y2不全为0，不妨假设x2≠0. a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，∴x1＝λx2，y1＝λy2， x2≠0.∴λ＝x1x2.将λ＝x1x2代入y1＝λy2得y1＝x1y2x2，即x1y2－x2y1＝0.问题2设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.请你写出证明过程．答 b≠0，∴x2，y2不全为0，不妨假设x2≠0，则由x1y2－x2y1＝0得y1＝x1x2y2.∴(x1，y1)＝x1，x1x2y2＝x1x2(x2，y2)令λ＝x1x2，则a＝λb.所以a∥b.探究点二共线向量与中点坐标公式问题1设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段P1P2的中点P的坐标．答如图所示，P为P1P2的中点，∴P1P→＝PP2→，∴OP→－OP1→＝OP2→－OP→∴OP→＝12(OP1→＋OP→2)＝x1＋x22，y1＋y22.∴线段P1P2的中点坐标是x1＋x22，y1＋y22.问题2设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．点P是线段P1P2的一个三等分点，求P点的坐标．答点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：①当P1P→＝13P1P2→时，OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋13P1P2→＝OP1→＋13(OP2→－OP1→)＝23OP1→＋13OP2→＝2x1＋x23，2y1＋y23；②当P1P→＝23P1P2→时，OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋23P1P2→＝OP1→＋23(OP2→－OP1→)＝13OP1→＋23OP2→＝x1＋2x23，y1＋2y23.问题3已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．求△ABC的重心G的坐标．答延长AG交BC于点D， G为△ABC的重心，∴D为BC的中点，∴AG→＝23AD→＝2312AB→＋12AC→＝13AB→＋13AC→，∴OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋13AB→＋13AC→＝OA→＋13(OB→－OA→)＋13(OC→－OA→)＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.探究点三共线向量与线段分点坐标在平面直角坐标系中，我们可以利用共线向量坐标之间的关系求解坐标．如图所示，设P点是直线P1P2上的一点，且P1P→PP2→＝λ.问题1定比λ与分点位置的一一对应关系如下表：λλ<－1λ＝－1－1<λ<0λ＝0P点位置在的延长线上在的延长线上与重合P点名称外分点不存在外分点始点λ0<λ<1λ＝1λ>1P点位置在与中点之间P为在中点与之间P点名称内分点P1P2P2P1P1P1中点P2问题2设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用λ及P1，P2点的坐标表示P(x，y)点的坐标．答 OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋λPP2→＝OP1→＋λ(OP2→－OP→)＝OP1→＋λOP2→－λOP→，∴OP→＝OP1→＋λOP2→1＋λ＝11＋λ(x1，y1)＋λ1＋λ(x2，y2)＝11＋λx1，11＋λy1＋λ1＋λx2，λ1＋λy2＝x1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ.∴Px1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ.【典型例题】例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－13.此时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)，∴当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．小结此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪训练1已知A(2,1)，B(0,4)...