高考数学总复习 第5讲 曲线与方程课件VIP专享VIP免费

第5讲曲线与方程知识梳理1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是．(2)以这个方程的解为坐标的点都是．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做．这个方程的解曲线上的点方程的曲线2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程，并化简．(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．f(x，y)＝03．曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组F1x，y＝0，F2x，y＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线．无交点辨析感悟1．曲线与方程的概念(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)(2)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．(×)(3)(教材习题改编)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线.(×)(4)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(×)2．求曲线的轨迹方程(5)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(×)(6)两条动直线y＝x＋b，y＝2x－b(b∈R)交点的轨迹方程是3x－2y＝0.(√)(7)已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是抛物线．(√)(8)(2014·济南质检)过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是x2a2＋4y2b2＝1.(√)[感悟·提升]1．曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点．如(2)错误理解了曲线方程的含义．2．求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.考点一直接法求轨迹方程【例1】如图所示，A(m，3m)和B(n，－3n)两点分别在射线OS，OT上移动，且OA→·OB→＝－12，O为坐标原点，动点P满足OP→＝OA→＋OB→.(1)求mn的值；(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解(1)由OA→·OB→＝(m，3m)·(n，－3n)＝－2mn.得－2mn＝－12，∴mn＝14.(2)设P(x，y)(x>0)，由OP→＝OA→＋OB→，得(x，y)＝(m，3m)＋(n，－3n)＝(m＋n，3m－3n)．∴x＝m＋n，y＝3m－3n，整理得x2－y23＝4mn，又mn＝14，∴P点的轨迹方程为x2－y23＝1(x>0)．它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－y23＝1的右支.规律方法(1)一是解本题第(2)时，根据x＝m＋n，y＝3m－3n，利用第(1)问的结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．(2)如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．【训练1】(2013·陕西卷选编)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．∴|O1M|＝x2＋42，又|O1A|＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.考点二定义法(待定系数法)求轨迹方程【例2】一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．解如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1，O2，将圆的方程分别配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|＝R＋2.①当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10－R.②将...