高中数学 第二章第二课时 椭圆方程及性质的应用课件 湘教版选修2-1 课件VIP专享VIP免费

第二课时椭圆方程及性质的应用第二课时课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标学习目标1.通过椭圆标准方程的求法，体会一元二次方程的根与系数的关系的应用．2．掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定．3．掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题．课前自主学案温故夯基温故夯基1．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝___＝_______.2．椭圆的方程为9x2＋y2＝81，则它的长轴长为______，短轴长为_____，焦点坐标为_________，顶点坐标为________________．ca1－b2a2186(±3,0)，(0，±9)(0，±62)知新益能知新益能点与椭圆、直线与椭圆的位置关系1．点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.2．直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立y＝kx＋mx2a2＋y2b2＝1，消去y(或x)得一个关于x(或y)的一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交______解Δ>0相切一个解Δ_______0相离无解Δ_______0两个＝<课堂互动讲练直线与椭圆的位置关系考点突破考点突破判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.例例11已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．【思路点拨】有公共点――→转化方程组有解――→消元方程有解――→转化判别式非负―→结果【解】由4x2＋y2＝1y＝x＋m得5x2＋2mx＋m2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0.解得－52≤m≤52.【名师点评】一般利用直线与椭圆的关系来求直线方程未知量的取值范围时，利用判别式较易求出．互动探究在例1条件下，试求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，由例1知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2m5，x1x2＝15(m2－1)．所以d＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝2[4m225－45m2－1]＝2510－8m2，所以当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.弦长问题弦长的求法：(1)求出直线与椭圆的交点，利用两点间的距离公式求弦长．(2)设而不求得弦长，设直线y＝kx＋m(k∈R，m∈R)，弦长|AB|，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程，消去y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程，利用弦长公式|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2求解．例例22已知斜率为1的直线l过椭圆x24＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．【思路点拨】求直线l方程―→构造方程组―→解方程组――→两点间距离公式求弦长【解】 a2＝4，b2＝1，∴c＝a2－b2＝3，∴右焦点F(3，0)，∴直线l的方程为y＝x－3.由y＝x－3，x24＋y2＝1，消去y并整理得5x2－83x＋8＝0.设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝835，x1x2＝85.∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋x1－3－x2＋32＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝28352－4×85＝85，即弦AB的长为85.关于中点的问题一般可采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不解，从而简化运算解题；(2)“”利用点差法，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．中点弦问题过椭圆x216＋y24＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程．例例33【思路点拨】由于弦所在直线过定点P(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点为P，得出k的值．也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．【解】法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝82k2－k...