第七节一次函数、二次函数及复合函数重点难点重点：二次函数．难点：(1)三个二次之间的关系；(2)幂指对函数、三角函数与二次函数的复合．知识归纳一、一次函数的图象与性质y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数，k>0时为增函数，k<0时为减函数，其图象是经过点(0，b)，斜率为k的一条直线．三、三个二次(二次方程ax2＋bx＋c＝0，二次函数y＝ax2＋bx＋c，二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)(或<0))的关系Δ>0Δ＝0Δ<0Δ＝b2－4ac分类a>0a<0a>0a<0a>0a<0二次方程ax2＋bx＋c＝0x1,2＝－b±b2－4ac2ax1＝x2＝－b2a方程无实数根Δ>0Δ＝0Δ<0Δ＝b2－4ac分类a>0a<0a>0a<0a>0a<0二次函数y＝ax2＋bx＋c图象Δ>0Δ＝0Δ<0Δ＝b2－4ac分类a>0a<0a>0a<0a>0a<0y>0xx2x1x2x的值不存在x≠－b2ax的值不存在x∈RΔ>0Δ＝0Δ<0Δ＝b2－4ac分类a>0a<0a>0a<0a>0a<0二次不等式解集ax2＋bx＋c>0{x|xx2}{x|x1x2}∅{x|x∈R且x≠－b2a}∅R四、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的符号与系数之间的关系1．方程有两个不相等的正实数根⇔Δ＝b2－4ac>0，x1＋x2＝－ba>0，x1·x2＝ca>0；2．方程有两个不相等的负实根⇔Δ＝b2－4ac>0，x1＋x2＝－ba<0，x1·x2＝ca>0；3．方程有一正根一负根⇔ac<0.五、一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问题研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑：1．一元二次方程根的判别式；2．对应二次函数区间端点函数值的正负；3．对应二次函数图象的对称轴x＝－b2a与区间端点的位置关系．设x1、x2是实系数二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示．误区警示1．要注意区分一次函数y＝kx＋b与直线y＝kx＋b，前者隐含k≠0的条件，而后者k∈R.2．二次方程根的分布问题中，列关系式时，要考虑全面，保持等价性．讨论二次方程根的分布时，一般应从以下几个方面入手．①开口方向；②判别式；③对称轴位置；④区间端点函数值的符号．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想．一、解题技巧1．解答二次函数问题时，一定要注意根据题设条件的不同，选取不同形式的解析式．经过三点时，用一般式；已知顶点时用配方式(即顶点式y＝a(x－m)2＋n)；已知函数与x轴两交点时，用分解式(即两根式y＝a(x－x1)(x－x2))等等．2．二次函数的单调性、值域(最值)问题，一般都是从开口方向和对称轴入手讨论，或利用导数讨论．[例1]一次函数f(x)的定义域和值域都是[1,2]，则f(－1)＝()A．－1B．4C．－1或4D．无法计算分析：由f(x)为一次函数可设出其解析式，利用其单调性及定义域和值域都是[1,2]可列出方程组求系数．一次函数解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，由f(x)的单调性及条件知，k＋b＝12k＋b＝2或k＋b＝22k＋b＝1，∴k＝1b＝0或k＝－1b＝3，∴f(x)＝x或f(x)＝－x＋3，∴f(－1)＝－1或f(－1)＝4.答案：C(2011·浙江文，11)设函数f(x)＝41－x，若f(a)＝2，则实数a＝________.解析：由题意可知，f(a)＝41－a＝2，解之得a＝－1.答案：－1[例2](2011·太原模拟)如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．[－3，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，5]D．[3，＋∞)分析：f(x)的图象开口向上，其单调性与对称轴有关，f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，故(－∞，4]应是f(x)单调减区间的子集．二次函数解析：f(x)的对称轴为x＝1－a，由条件知，4≤1－a，∴a≤－3.答案：B点评：要注意区分f(x)在区间A上单调减和f(x)的单调减区间是A，本题若f(x)的单调减区间为(－∞，4]，则应有1－a＝4，∴a＝－3.(文)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是()A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)>25解析：由题知m8≤－2，则m≤－16，那么f(1)＝9－m≥25，选A.答案：A(理)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f...
