高中数学 第二章221等差数列的概念精品课件 苏教版必修5 课件VIP专享VIP免费

2．2等差数列2．2.1等差数列的概念•课标要求：1.理解等差数列的概念，会判断一个数列是否为等差数列．•2．掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单问题．•重点难点：本节重点：等差数列的定义和等差中项．•本节难点：对等差数列定义的理解和应用．课标定位基础知识梳理1．等差数列的有关概念定义：一般地，如果一个数列从第___项起，每一项减去它的______所得的差都等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，公差通常用__表示．说明：(1)由定义可知，如果an－an－1(n≥2)是同一个常数，那么数列{an}就是等差数列．(2)对于公差d，需强调的是它是每一项与前一项的差(从第2项起)，要防止把被减数与减数弄颠倒．二前一项同一个公差d•2．等差中项•定义：如果a，A，b这三个数成_________，则A叫做a和b的等差中项．•说明：(1)a，A，b成等差数列⇔A是a与b的等差中项⇔A－a＝b－A⇔2A＝a＋b⇔A＝.•(2)等差数列从第二项起，每一项是它前一项与后一项的等差中项，一个等差数列至少有三项．•(3)三个数成等差数列，可依次设为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列，可依次设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.等差数列课堂互动讲练•1．在等差数列中要强调“从第2项起”和“同一个常数”，也就是说，若一个数列不是从第2项起，而是从第3或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，则该数列不是等差数列；若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是个常数，但这个常数不相同，则这个数列一定不是等差数列．题型一题型一等差数列有关概念的理解•2．虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一个常数，但它不是公差，而是公差的相反数．•已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p、q为常数，且p≠0，那么数列{an}是否为等差数列？如果是，求其首项与公差．•【分析】根据等差数列的定义可知，要证明一个数列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数，即an－an－1＝d(n≥2，nN∈*)即可．•【解】取数列{an}的任两项an和an－1(n≥2)，则an－an－1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.例例11• p是一个与n无关的常数，∴{an}是等差数列，且公差为p.在通项公式an＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p＋q.于是{an}的首项为p＋q，公差为p.•【点评】深刻理解等差数列的定义，应紧扣“从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数”，且这个常数与n无关．如an－an－1＝n(n≥2)，数列{an}就不是等差数列．•判断一个数列(可以是三项、多项、无限项)是等差数列或不是等差数列，要回归到原始定义中去，这是最基本、最常用的方法．题型二题型二等差数列的判定•已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．•(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？•(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．例例22•【解】(1)欲使{an}是等差数列，•则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，•所以只有2p＝0，所以p＝0.•即p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．•(2)因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，•所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.•而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，•所以{an＋1－an}是等差数列．已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋ca，a＋cb，a＋bc也成等差数列．变式训练变式训练证明： 1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c)． b＋ca＋a＋bc＝cb＋c＋aa＋bac＝c2＋a2＋ba＋cac＝a2＋c2＋2acac＝2a＋c2ba＋c＝2a＋cb.∴b＋ca，a＋cb，a＋bc成等差数列．•在等差数列中，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…(公差为d)；偶数个数成等差，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…(公差为2d)．题型三题型三等差数列中的基本运算•已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数．•【分析】三个数成等差数列，可根据定义设出这三个数，设法要尽量利用题中条件，使解答简化．例例33•【解】设这三个数依次是a－d，a，...