三垂线定理三垂线定理aaAAPPooαα斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段。如果如果aα,aA⊥aα,aA⊥OO，，思考思考aa与与POPO的位置的位置关关系如何？系如何？aaAAPPooααPOPO是平面是平面αα的斜线的斜线,,OO为斜足为斜足;;PAPA是平面是平面αα的垂线的垂线,A,A为垂足为垂足;;AOAO是是POPO在平面在平面αα内的射影内的射影..如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做平面的斜线自一点P向平面引垂线，垂足A叫做点P在平面内的正射影（简称射影）性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直PO平面PAOaPO⊥③三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。垂直。PAα⊥aα①PAa⊥AOa⊥②a⊥平面PAO三垂线定理三垂线定理PPaaAAooαα11、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是PO(PO(斜线斜线))、、AO(AO(射射影影))、、a(a(直线直线))之间的垂直关系。之间的垂直关系。22、、aa与与POPO可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。33、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。平面内的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：对三垂线定理的说明：PPaaAAooαα三垂线定理三垂线定理⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）练习：判断下列命题的真假：三垂线定理三垂线定理×面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直线A1C→斜线a直线AB→垂线b面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线bAABBCCDDBB11AA11DD11CC11已知：长方体已知：长方体ACAC11中，中，BDBD11为体对角线，当底面为体对角线，当底面ABCDABCD满足条件满足条件时，时，有有BDBD11⊥⊥AA11CC11当AC⊥BD时结论成立。。解：解：例1:BB11PCBAO例2、、已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明： P是平面ABC外一点PA⊥平面ABC∴AC是斜线PC在平面ABC上的射影 BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得PC⊥BCM例例33、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCD-AABCD-A11BB11CC11DD11中，连结中，连结BBDD11，，ACAC，，CBCB11，，BB11AA，求证：，求证：BDBD11⊥⊥平面平面ABAB11CC ABCDABCD是正方形，∴是正方形，∴AC⊥BDAC⊥BD又又DDDD11⊥⊥平面平面ABCDABCD∴∴BDBD是斜线是斜线DD11BB在平面在平面ABCDABCD上上的的射影射影 ACAC在平面在平面ACAC内，∴内，∴BDBD11⊥AC⊥ACA1D1C1B1ADCB而而ABAB11，，ACAC相交于点相交于点AA且都在平且都在平面面ABAB11CC内∴内∴BDBD11⊥⊥平面平面ABAB11CC证明：证明：连结连结BDBD，，请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明BDBD11⊥AB⊥AB11连结连结AA11BB三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直三由线面垂直，线射垂直得出线斜垂直解题回顾PAOaα例例44、一段笔直的道路旁有一条河，河对岸有电塔、一段笔直的道路旁有一条河，河对岸有电塔ABAB，，高高15m15m，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河怎样求出，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河怎样求出电塔顶电塔顶AA与道路的距离？与道路的距离？解：解：在道边取一点在道边取一点CC，，使使BCBC与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于90°90°，，再在道边取一点再在道边取一点DD，，使水平角使水平角CDBCDB等于等于45°45°，，测得测得CC、、DD的距离等于的距离等于20m20mBBAACC90°90°DD45°45°三垂线定理三垂线定理BBAACC90°90°DD45°45° BCBC是是ACAC在地平面内的射影且在地平面内的射影且CD⊥BC∴CD⊥ACCD⊥BC∴CD⊥AC ∠ ∠CD...
