2.3.2平面与平面垂直的判定1.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.(2)图示和记法图示记法二面角α-l-β或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q【思考】根据“从一条直线出发的两个半平面”,想一想,能否用运动的观点定义二面角?提示:二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成.2.二面角的平面角文字语言在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角图形语言符号语言α∩β=l,O∈l,OA⊂α,OB⊂β,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB为二面角α-l-β的平面角规定二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角【思考】二面角的平面角的定义中,“棱l上”、“在半平面α和β内”、“垂直于棱”可以缺少一个吗?提示:这三条是构成二面角的平面角的三要素,缺一不可.实际上,二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的惟一性和平面角所在的平面与棱垂直.3.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.(3)判定定理:文字语言一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α,l⊂β⇒α⊥β【思考】(1)由面面垂直的定义中“直二面角”可以想到线线垂直和面面垂直有什么关系?提示:作出二面角的平面角,由二面角的平面角是直角推出两个平面垂直,反之,由两个平面垂直也可以推出二面角的平面角是直角,即实现了线线垂直与面面垂直的相互转化.(2)由面面垂直的判定定理中“l⊥α,l⊂β”,可以想到线面垂直和面面垂直有什么关系?提示:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此证明面面垂直可转化为证明线面垂直.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.()(3)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()(4)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.()提示:(1)×.由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以(1)不对,实质上它共有四个二面角.(2)×.对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同的点,分别作这两个二面角的平面角,因为这两个二面角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同,所以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误.(3)√.由a,b垂直于两个面,则a,b都垂直于二面角的棱,故(3)正确.(4)×.如图所示,长方体中平面α内有一条直线l垂直于平面β内的一条直线m,但是平面α与平面β不垂直.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BC-A1的平面角是()A.∠ABCB.∠ABB1C.∠ABA1D.∠ABC1【解析】选C.因为AB⊥BC,B1B⊥BC,B1B∩AB=B,所以BC⊥平面ABB1A1,又因为A1B⊂平面ABB1A1,所以BC⊥A1B,所以∠ABA1是二面角A-BC-A1的平面角.3.如图所示,在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,则有()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面BCD【解析】选D.因为AD⊥BC,AD⊥BD,BD∩BC=B,且BC,BD⊂平面BCD,所以AD⊥平面BCD.因为AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.类型一二面角的概念及其大小计算【典例】如图所示,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小.62【思维·引】一方面借助侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为,求底面边长和棱锥高的关系,另一方面要作出侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,并解直角三角形求...
