高考数学二轮复习 5.4 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理 课件VIP专享VIP免费

第4讲直线与圆锥曲线的位置关系重点知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系：(1)相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。(2)相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切；(3)相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．2．有关弦的问题：(1)弦的中点问题：“韦达定理”或“点差法”．(2)张长公式：若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则弦长|AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|(k≠0)＝．21k2212121()4kxxxx211k21212211()4yyyyk主要考点剖析考点一中点弦、弦长、最值(范围)问题命题规律直线与圆锥曲线的位置关系，由于交汇了解析几何中直线、圆锥曲线两部分的知识，因而成为解析几何中综合性最强，能力要求最高的内容，也成为高考的重点和热点．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化．最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容．其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值、范围问题．范围问题主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围．●例1设椭圆E：＝1(a，b＞0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由．【分析】(1)由特定系数法确定椭圆方程;(2)对存在性命题先假设存在,再求出方程,求弦长先通过联立直线与圆锥曲线方程进行消元“设而不求”,再应用韦达定理和弦长公式解题.【解析】(1)把M(2，)，N(，1)坐标代入椭圆方程得4a2＋2b2＝1，6a2＋1b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.2222xyab2626OAOB�所以椭圆方程为＝1．(2)设存在圆心在原点的圆满足要求，设圆的方程为x2＋y2＝r2．当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0． 切线y＝kx＋m与椭圆总有两个交点，∴Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)＞0，即8k2－m2＋4＞0．①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，则y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·＋km＋m2＝．2284xy2412kmk222812mk222812mk2412kmk222812mkk ，∴＝x1x2＋y1y2＝＝＝0，即3m2－8k2－8＝0，∴8k2＝3m2－8≥0，代入①得3m2－8－m2＋4＝2m2－4＞0，于是∴m2≥，圆心(0,0)到切线y＝kx＋m的距离d＝r,圆半径r＝,∴圆方程为x2＋y2＝．OAOB�OAOB�222222881212mmkkk22238812mkkm2≥83，m2＞2，83222831383188|m||m||m|kmm83当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝±，即得x12＝x22＝，代入椭圆方程得y12＝y22＝，也有,综合得存在符合要求的圆，其方程为x2＋y2＝．(法一)当切线的斜率存在时，|AB|＝·＝＝4．令＝t，则＜t≤1，∴|AB|2＝32t(1－t)＝－(t－)2＋12，838383OAOB�832212121()4kxxxx222224281()41212kmmkkk22221212121321kkkk1222121kk2364334∴≤|AB|2≤12，故≤|AB|≤2．当切线的斜率不存在时，|AB|＝，∴|AB|的取值范围为[，2]．(法二)设D为切点，连结OD，则OD⊥AB，设∠OBD＝θ，32346334634633 OA⊥OB，故∠OAD＝90°－θ，则BD＝，∠OD＝r＝，同理AD＝tanθ，∴|AB|＝(tanθ＋)．又2≤|OA|≤2，OD＝,cos∴θ＝∈,∴≤tan...