第5节空间中的垂直关系(对应学生用书第104页)(对应学生用书第104～105页)1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理(3)直线与平面垂直的性质定理2.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)线面角θ的范围：[0，π2]．质疑探究1：当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是多少？当直线与平面平行或在平面内呢？提示：π2，0.3．平面与平面垂直(1)二面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图，记作：二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PABQ.②二面角的平面角如图，二面角αlβ，若有(i)O∈l，(ii)OA⊂α，OB⊂β，(iii)OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．(2)平面与平面的垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②平面与平面垂直的判定定理.③平面与平面垂直的性质定理.质疑探究2：垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定．可能平行也可能相交．1．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析：l⊥α⇒l⊥m，l⊥n，反之因为m、n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.2．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，则图中互相垂直的平面共有(B)(A)4对(B)3对(C)2对(D)1对解析： PA⊥平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，又AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，又PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，故平面PBC⊥平面PAC，共3对，选B.3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．则下列命题中正确的是(B)(A)m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β(B)α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n(C)α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n(D)α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β解析：A：m⊥α，m⊥n，n⊂β，则有可能α∥β或α与β相交，排除A.B：α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n成立．C、D显然不正确．4．将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB＝________.解析：取AC中点E，连结BE、DE.设原正方形ABCD的边长为a， AB＝BC，AD＝CD，∴BE⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED＝90°，在Rt△ABC和Rt△ACD中，BE＝DE＝22a.在Rt△BDE中，∴BD＝BE2＋DE2＝a.∴△ABD为正三角形，∴∠DAB＝60°.答案：60°(对应学生用书第105～106页)借助几何模型判断有关垂直命题的真假【例1】下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确的命题是()(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④思路点拨：弄清题设和结论――→借助几何模型或定义、公理、定理作出真假判断.解析：过n作平面β交α于l，则由n∥α，得n∥l， m⊥α，l⊂α，∴m⊥l，∴m⊥n，故①正确；平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BB1C1C⊥平面ABCD，而平面ABB1A1∩平面BB1C1C＝BB1，故②错误；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，而A1B1∩B1C1＝B1，故③错误； α∥β，β∥γ，∴α∥γ， m⊥α，∴m⊥γ.故④正确．选C.运用几何模型中的线与面、面与面的关系判断命题的真假，是解决此类问题的常见方法，应注意以下几点：一是力求熟练画出几何体，最终达到不用画图，也能在头脑中想象出几何体的形状及其线面之间的关系；二是只要存在反例，则结论错误，而对于看似正确的结论，也要反复验证，必要时要运用判定或性质定理进行证明才能确定其正确性．变式探究11：(2010年江南模拟)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a...
