•一、函数与方程的思想•函数、方程与不等式构成了中学数学代数知识体系的主体．所谓函数思想，就是用运动变化的观点，分析讨论具体问题中的数量关系，利用函数的图象与性质解决问题；所谓方程思想，就是设定未知数，当成已知数，列出等式，从而沟通变量与常量之间的关系．•已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝•A．{(1,1)}B．{(－1,1)}•C．{(1,0)}D．{(0,1)}•思路点拨：集合P与Q分别表示向量的集合，先认清这两个向量，然后再找它们的公共向量．•解析：解法一(方程的思想)•设c∈P∩Q，且c＝(x，y)．•由P＝{a|a＝(1，m)，m∈R}得(x，y)＝(1，m)①；•由Q＝{b|b＝(1－n,1＋n)，n∈R}得(x，y)＝(1－n,1＋n)②.•由①②联立解得x＝1，y＝1.•∴c＝(1,1)．•故选A.解法二(函数的思想)集合P中向量的终点落在直线x＝1即函数x＝1的图象上，集合P中向量的终点落在直线y－1＝－(x－1)即函数y＝－x＋2的图象上．由x＝1y＝－x＋2得交点坐标为(1,1)．∴P∩Q＝{(1,1)}．故选A.•二、数形结合的思想•“”“”数形结合的思想包含以形助数和以数辅形两方面，两方面相辅相成，互为补充，利用数形结合的思想来解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，在本章的学习中借助于Venn图及数轴来分析集合间的内在联系，是学好集合的重要方式，同时也是平时考查的一个热点．•(2010年天津卷)设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是•A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2，或a≥4}•C．{a|a≤0，或a≥6}D．{a|2≤a≤4}•思路点拨：集合A中含有参数a，可借助数轴，将满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围求出．•解析：选C.由集合A得：－1＜x－a＜1，即a－1＜x＜a＋1，显然集合A≠∅，若A∩B＝∅，由图可知a＋1≤1或a－1≥5，故a≤0或a≥6.选C.•三、分类讨论的思想•分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，是常见的数学思想方法之一．当所研究的问题含有参数时，往往要对参数进行讨论．分类时要全面．本着“不重复，不遗漏”的原则进行，最后要有概括性的总结，叙述时力争做到条理简洁，语言精练．•已知A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a.•思路点拨：按B＝∅和B≠∅两种情况讨论．解：A＝{3,5}，当a＝0时，B＝∅⊆A；当a≠0时，B＝{1a}．要使B⊆A，则1a＝3或1a＝5，即a＝13或a＝15.综上a＝0或13或15.•特别提醒：在解含有参数的方程或不等式时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤是：①确定标准；②恰当分类；③逐步讨论；④归纳结论．•四、等价转化的思想•将未知转化为已知，将繁难转化为简便是一种重要的思维模式，这就是化归思想．转化分为等价转化与不等价转化．等价转化要求转化过程中前因后果应该是充分且必要的，如解方程，解不等式(组)都是等价转化．不等价转化其过程是充分或必要的，这样的转化往往能给人类带来思维的闪亮点，找到解决问题的突破口．已知命题p：x＋2≥0，x－10≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．•思路点拨：把綈p是綈q的必要不充分条件转化为p⇒q且qp，再进一步转化为集合间的基本关系求解．解：p：x[∈－2,10]，q：x[1∈－m,1＋m]，m＞0，∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p⇒q且qp.[∴－2,10][1－m,1＋m]．∴m＞0，1－m≤－2，1＋m≥10.∴m≥9.
