元次方程实根的分布VIP专享VIP免费

1/7一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现.这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用.本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用.一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别.一元二次方程02cbxax（0a）的两个实数根为1x、2x，则1x、2x均为正△≥0，1x＋2x＞0，1x2x＞0；1x、2x均为负△≥0，1x＋2x＜0，1x2x＞0；1x、2x一正一负1x2x＜0.例1．关于x的一元二次方程28(1)70xmxm有两个负数根，求实数m取值范围.解：设两个实数根为1x、2x，依题意有1212000xxxx≥①②③由①得：2(1)32(7)0mm≥，2(15)0m≥，恒成立.由②得：18m＜0，解之，m＞1.由③得：78m＞0，解之，m＞7.综上，m的取值范围是m＞7.例2．若n＞0，关于x的方程21(2)04xmnxmn有两个相等的正实数根，求mn的值.解：设两个实数根为1x、2x，依题意有1212000xxxx①＞②③由①得：2(2)0mnmn，()(4)0mnmn，∴mn或4mn.2/7若mn，则1x＋2x22mnnnn＜0，不符合②，舍去.故4mn，此时均符合②、③，∴44mnnn.二．一元二次方程实根的非零分布——k分布设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x、2x，且21xx，k为常数.则一元二次方程实根的k分布指1x、2x相对于k的关系，例如1x、2x均比k大，或者1x、2x均比k小，或者1x、2x一个比k大，一个比k小等等.1x、2x均比常数k大△≥0，（1x－k）＋（2x－k）＞0，（1x－k）（2x－k）＞0；1x、2x均比常数k小△≥0，（1x－k）＋（2x－k）＜0，（1x－k）（2x－k）＞0；1x、2x一个比k大，一个比k小△＞0，（1x－k）（2x－k）＜0.例3．若方程22430xaxa的两根均大于1，求实数a的取值范围.解：设两个实数根为1x、2x，由韦达定理得：1x＋2x2a，1243xxa.依题意有12120(1)(1)0(1)(1)0xxxxΔ≥①＞②＞③由①得：244(43)0aa≥，解之，1a≤或3a≥.由②得：2a＞2，解之，a＞1.由③得：43210aa＞，解之，a＞1.综上，a的取值范围是3a≥.当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间（不包括2和4），或者两根中一根介于0与1之间，另一个根介于3与4之间，这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂.那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数量运算较多，缺乏直观性.这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解.我们知道，如果二次函数2()(0)fxaxbxca的图像与x轴有交点，那么交点的横坐标即为二次方程20(0)axbxca的实数根.反之亦然.利用这一点来看3/7x1x2tx1x2tx1x2tx1x2tx1x2tx1x2tx1x2stx1x2st问题1：什么条件下，二次方程20(0)axbxca两个实数根1x、2x一个比t大，另一个比t小（t是给定的常数）？上面问题等价于：什么条件下，二次函数()fx2(0)axbxca图像与x轴两个交点分布在点(,0)t两侧？利用图像说明（简单起见，只画横轴，不画纵轴）.显然，当0a＞时，()0ft＜；当0a＜时，()0ft＞.问题2：什么条件下，二次方程20(0)axbxca两个实数根1x、2x都比常数t大？构造二次函数()fx2(0)axbxca，结合图形，当0a＞时，△≥0，2bta＞，()0ft＞；当0a＜时，△≥0，2bta＞，()0ft＜.问题3：什么条件下，二次方程20(0)axbxca两个实数根1x、2x都比常数t小？构造二次函数()fx2(0)axbxca，结合图形，当0a＞时，△≥0，2bta＜，()0ft＞；当0a＜时，△≥0，2bta＜，()0ft＜.问题4：什么条件下，二次方程20(0)axbxca两个实数根1x、2x满足1x＜s，2x＞t（其中s、t为给定常数且s＜t）？构造二次函数()fx2(0)axbxca，结合图形，当0a＞时，()0fs＜，()0ft＜；当0a＜时，()0fs＞，()0ft＞.4/7x1x2stx1x2st012（－95,0）(37...