高二数学下册：4.3(2)(随机变量和数学期望)课件(沪教版) 课件VIP专享VIP免费

4.3(2)随机变量和数学期望上复习引入随机变量随机变量的分布律估计一下他今晚完成作业的时间？k123456P(ξ=k)0.20.40.250.050.050.05ξ取值的加权平均数10.220.430.2540.0550.0560.052.5（时）数学期望一般地，如果随机变量ξ可以取x1,x2,…,xn中的任意一个值，取这些值对应的概率分别为p1,p2,…,pn，那么随机变量ξ的数学期望为Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn.备注1.数学期望是以概率为权的随机变量的加权平均数；2.数学期望并不一定等同于常识中的“期望”——“数学期望”也许与随机变量的每个取值都不相等.例题1.一种填字彩票，购票者花1元买一张小卡，购买者在卡上填10以内的三个数字(允许重复).如果三个数字依次与开奖的三个有序的数字分别相等，得奖金600元.只要有一个数字不符(大小与次序)，无奖金.求购买一张彩票的期望收益.解：中奖的概率为0.001，收益为599元；不中奖的概率为0.999，收益为-1元.期望收益0.0015990.99910.4E数学期望的性质(1)设ξ是随机变量，c是任一实数，那么E(cξ)=cEξ.(2)设ξ是随机变量，ξ=η1+η2+…+ηn，ηi(i=1,2,…,n)都是存在数学期望的随机变量，那么Eξ=Eη1+Eη2+…+Eηn.(3)常数C的数学期望是常数本身，即EC=C.例题2.有一种叫做“天天奖”的彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金为50元，那么购买一注彩票的期望收益是多少元？解：期望收益484822480.0120.991.5EPP（元）中奖的概率为0.01，收益为48元，不中奖的概率为0.99，收益为-2元.P(ξ=48)=0.01；P(ξ=-2)=0.99.所以购买一注彩票的期望收益是-1.5元，即损失1.5元.例题2.有一种叫做“天天奖”的彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金为50元，那么购买5注彩票的期望收益是多少元？解：购买一注的期望收益Eξ=-1.5(元).因此购买5注的期望收益为1.557.5(元)例题3.已知ξ的概率分布律如下表所示：(1)求Eξ；(2)若η=2ξ-1，求Eη.x0123P(ξ=x)0.250.30.150.3随机变量的均值数学期望是随机变量取值的加权平均数，表示随机变量取值的平均水平，因此也叫做随机变量的均值.求下列表中随机变量ξ1和ξ2的数学期望.x123P(ξ1=x)0.20.60.2x-0.534P(ξ2=x)0.40.20.4122EE222111121322123120.2220.6320.20.4.DEpEpEpx123P(ξ1=x)0.20.60.2ξ取值与均值差的平方的加权平均数x-0.534P(ξ2=x)0.40.20.42222212223220.5340.520.4320.2420.44.3.DEpEpEp定义一般地，如果随机变量ξ可以取x1,x2,…,xn中的任意一个值，对应的概率分布律为p1,p2,…,pn，随机变量的数学期望为Eξ，那么叫做随机变量的方差.方差的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差.2221122nnDxEpxEpxEp随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度.练习1.如果随机变量的概率分布律由下表给出：求ξ的数学期望与方差.2.设η=cosξ，其中ξ的概率分布律同第1题，求Eη，Dη.x0πP(ξ=x)2141214小结随机变量的数学期望（均值）；随机变量的方差与标准差.