高三数学 数列的递推公式与通项课件 课件VIP免费

数列的递推公式与通项递推公式的“一式用二次”是求通项公式中常用的思想引例：12323(1)(2)naaanannn数列满足：，求数列｛an｝的通项。211231,2nnaaaaana练习：数列｛an｝满足：，则数列｛an｝的通项。1.形如an+1-an=f(n)型(1)若f(n)为常数，即an+1-an=d,此时数列{an}为等差数列，则an=a1+(n-1)d;(2)若f(n)为n的函数，用累加法，也可用横式表示.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1例1:(1)已知数列{an}满足a1=1,an=n2+2n+an-1(n≥2),求an(2)已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),求an;(3)已知数列{an}满足a1=3,an=an-1+,求an;1(2)(1)nnn2.形如an+1/an=f(n)型例（1）数列｛an｝中，a1=1,(n+1)·an+1=n·an，求an的表达式。(2)设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2-an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项an=______.(1)若f(n)为常数，即an+1/an=q,此时数列{an}为等比数列，则an=a1qn-1;(2)若f(n)为n的函数，用累乘法，即.an==f(n-1)f(n-2)·…·f(2)·f(1)·a1121121nnnnaaaaaaa3.形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)型(1)若c=1,数列{an}为等差数列；(2)若d=0,数列{an}为等比数列；(3)若c≠1且cd≠0时,数列{an}为线性递推数列,其通项通过待定系数法构造辅助数列来求.例（1）在数列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通项公式．（2）数列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通项公式．212na4.形如an+1=can+f(n)型(1)若f(n)=kn+b(其中k,b为常数,且k≠0),例：在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2n,求an.待定系数法：设an+1+A（n+1）+B=c(an+An+B),求出A、B，转化为等比数列求通项.例（1）设a1=1，且an=3n+2an-1(n≥1)，求an通项（2）设a1=1，且an=3n-1+2an-1(n≥1)，求an通项(2)若f(n)=qn(其中q为常数,且q≠0,1)①当c=1时,累加即可；②当c≠1时,即an+1=can+qn,求通项有以下三个方向：ⅰ)两边同除以cn+1;ⅱ)两边同除以qn+1;ⅲ)待定系数法：设an+1+λqn+1=c(an+λqn),求出λ，转化为等比数列求通项.4.形如an+1=can+f(n)型5.形如an+1=pan+qan-1(其中p,q为常数)型例：数列{an}中,若a1=8,a2=2,且满足an+2-4an+1+3an=0,求an.练习：数列{an}中,若a1=1,a2=5,且满足an+2-5an+1+6an=0,求an.先用待定系数法将递推公式变形为an+1-Aan=B(an-Aan-1)再求解。6.形如an+1=pan/(ran+s)型p,r,s≠0,即，取倒数法11(2)nnnpaanras例：已知数列{an}中,a1=1,,求an.11(2)21nnnaana7.形如an+1=panr(其中p,r为常数)型(1)p>0,an>0,用对数法，等式两边去以p为底的对数例：设正项数列{an}满足a1=1,an=2an-12(n≥2),求an.例:已知正项数列{an}满足a0=1,an+1=求an.1(4)()2nnaanN(2)p<0,用迭代法8.形如f(Sn,n)=0型可利用公式：直接求出通项11SSSannn)1()2(nn例：已知数列｛an｝前n项和公式为Sn=n2+n+1，求该数列通项公式9.形如f(Sn,Sn-1)=0型方法（i）看成{Sn}的递推公式，求Sn的通项公式（ii）利用an=Sn-Sn-1转化成关于an和an-1的关系式再求。例.已知数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式3tSn-(2t+3)Sn-1=3t（t为常数且t>0，n=2,3,4…）求证：数列{an}是等比数列；10.形如f(Sn,an)=0型利用an=Sn-Sn-1转化为g(an,an-1)=0型或h(Sn,Sn-1)=0型例.已知数列{an}满足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n项和，求{an}的通项公式11.形如an+1+an=f(n)型(1)an+1+an=d(d为常数)，则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2.(2)若f(n)为n的函数(非常数)，可通过构造化为an+1－an=f(n)型,通过累加求出通项，若用逐差法(两式相减),得an+1－an-1=f(n)－f(n-1),分奇数项、偶数项求通项.例3:数列{an}满足a1=0,an+1+an=2n，求an;例4:已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=且S1＝1,S2＝,求数列{an}的通项公式.113()(3)2nn3212.形如an+1·an=f(n)型(1)an+1·an=p(p为常数)，则数列{an}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2.(2)若f(n)为n的函数(非常数)，可用逐商法(两式相除),得an+1/an-1=f(n)/f(n-1),分奇数项、偶数项求通项.