第57讲平面与平面的平行与垂直的判定和性质【学习目标】1．掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能应用其进行论证和解决有关问题．2．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，并能应用其进行论证和解决有关问题．【基础检测】1．下列命题错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD【解析】A正确，只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β；B正确，根据面面垂直的判定定理，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β；C正确，设α内a⊥γ，β内b⊥γ，α∩β＝l，则a∥b，所以a∥β，根据线面平行的性质定理，所以a∥l，所以l⊥γ；D错误，平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.2．若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γα⊥β；②α⊥γ，β∥γα⊥β；③l∥α，l⊥βα⊥β.其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】对于①，α与β可能平行，故错．②③正确，故选C.C3．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是_______________．【解析】由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故填m∥l1，且n∥l2.m∥l1且n∥l24．若平面α∥平面β，直线m⊥α，直线m⊥直线n，则n与β之间的位置关系是_____________．【解析】 α∥β，m⊥α，∴m⊥β.又m⊥n，故n⊂β或n∥β.n⊂β或n∥β没有公共点有一条公共直线相交直线平面任意一条直线交线垂直垂直【知识要点】1．两个平面的位置关系(1)两个平面平行——____________；(2)两个平面相交——________________.2．两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内有两条_______直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)垂直于同一条______的两个平面平行．(3)平行于同一个______的两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理(1)两个平面平行，其中一个平面内的____________必平行于另一个平面．(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的______互相平行．(3)一条直线______于两个平行平面中的一个平面，它也______于另一个平面．直二面角经过垂线a⊥β交线a⊥l4．两平面垂直的判定定理(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是__________，那么这两个平面互相垂直；(2)判定定理：如果一个平面______另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直，即若_______，a⊂α，则α⊥β.5．两平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们_____的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β，α∩β＝l，_____，a⊂α，则a⊥β.【解析】(1)取BB1的中点M，∴HM綊AB綊C1D1，∴HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.又 MC1∥BF，∴BF∥HD1.一、面面平行的判定与性质例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.(2)取BD的中点O，连接OE，则OE綊12DC，∴OE綊D1G，∴OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.又D1O⊂平面BDD1B，∴EG∥平面BDD1B1.(3)由(1)知，D1H∥BF.又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面HB1D1，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，∴平面BDF∥平面HB1D1.【点评】面面平行判定的一般思路是：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．二、面面垂直的判定与性质例2如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.【解析】(1)取CE中点P，连结FP、BP， F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝12DE.又AB∥DE，且AB＝12DE.∴AB∥FP，且AB＝FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.又 AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.【点评】面面垂直⇔线面垂直⇔线线垂直．(2) ...
