10.1.2复数的几何意义第十章复数学习目标1.了解复数的几何意义，掌握复数的模.2.了解共轭复数的概念.3.探究复数与复平面内的点、平面向量的对应关系.重点：复数的向量表示，复数的几何意义.难点：复数的几何意义.知识梳理一、用复平面内的点表示复数复数集与平面直角坐标系的点集之间可以建立一一对应关系，即复数点.例如，复数1+2i对应的点为A（1，2），复数3对应的点为B（3，0），而点C（0，-1）对应的复数为i，如图所示.建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面内，轴上的点对应的都是实数，因此轴称为实轴；轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称轴为虚轴.【易错提醒】虚轴上的点，不都表示纯虚数.【名师点拨】复平面、实轴、虚轴与复数的对应（1）复平面内的点与复数的对应：点Z的横坐标是实部a，纵坐标是虚部b，复数z＝a+bi（a，b∈R）可用点Z（a，b）表示.如图（2）实轴与实数的对应：实轴上的点都表示实数，原点对应的有序实数对为（0，0），表示的是实数0.（3）虚轴（除原点外）与纯虚数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（4）象限内的点与一般虚数的对应：①第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；②第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；③第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；④第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.二、共轭复数【尝试与发现】设3+i与3-i在复平面内对应的点分别为A与B，则A，B两点的位置关系是怎样的？关于实轴对称一般地，当时，复数a+bi与a-bi在复平面内对应的点有什么位置关系？关于实轴对称一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示，因此，当z＝a+bi（a，b∈R）时，有＝a-bi.显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.共轭复数的性质：①＝z；②z＝z为实数；③z＝（且z≠0）z为纯虚数.【拓展】虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.三、用平面向量表示复数及复数的模复数集与平面直角坐标系中以为始点的向量组成的集合之间也可以建立一一对应关系，即复数z＝a+bi向量＝（a，b）.一般地，向量＝（a，b）的长度称为复数z＝a+bi的模（或绝对值），复数z的模用|z|表示，因此|z|＝.例如，复数z1＝3+i对应的向量＝（3，1），复数z2＝3-i对应的向量＝（3，-1），而且此时有|3+i|＝|3-i|＝，如图所示.复数模的几何意义复数模的几何意义是复数z＝a+bi所对应的点Z（a，b）到原点（0，0）的距离.特别地，当且仅当a＝b＝0时，|z|＝0.常考题型一、复数的几何意义及其应用1.复数与复平面内点的关系例1求实数取什么值时，复平面内表示复数的点：（1）位于第二象限；（2）位于直线上.【解题提示】位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线上的点的横坐标等于纵坐标.【解】根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数的点就是点（1）由点Z位于第二象限，得解得.故满足条件的实数a的取值范围为（2）由点Z位于直线上，得，解得.故满足条件的实数的值为1.◆已知复数在复平面内对应点的位置求参数的方法1.确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标.2.根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系.3.求解相应的方程（组）或不等式（组）.训练题1.［2019·长沙市长郡中学高二调考］若0m<-3或m>5，∴当m<-3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.（2）由（m2+5m+6）+（m2-2...
