第2课时不等式的证明与柯西不等式1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．2
了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式，能利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值
2011·考纲下载不等式的证明是中学数学的难点．柯西不等式只要求会简单应用
注：不等式证明的基本方法详见本书第十二章第2、3课时．1．平均值不等式a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an≥11a1＋1a2＋…＋1an
2．贝努利不等式若x∈R，且x>－1，x≠0，n>1，n∈N，则(1＋x)n>1＋nxn
课前自助餐课本导读•3．柯西不等式(1)设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(i＝1naibi)2
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(2)柯西不等式的向量形式：设α、β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|
当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．•4．排序不等式•若a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2…，，cn是b1，b2…，，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1…＋＋anb1≤a1c1＋a2c2…＋＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn
当且仅当a1＝a2…＝＝an或b1＝b2…＝＝bn时，反序和等于顺序和．1．已知00，利用柯西不等式，得(m＋n)(a2m＋b2n)≥(a＋b)2，所以a2m＋b2n≥(a＋b)2m＋n
(2)解由(1)，函数y＝2x＋91－2x＝222x＋321－2x≥(2＋3)22x＋(1－2x)＝25，所以函数y＝2x＋91－2x〔x∈(0，12)〕的最小值为25，当且仅当x＝15时取得．例1(2010·江苏卷，理)设a，b
