第四十二讲(第四十三讲(文))直线和平面垂直与平面和平面垂直回归课本1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直．这条直线——平面的垂线平面——直线的垂面交点——垂足——垂线在平面内的射影直线l垂直于平面α，记作l⊥α.(3)直线与平面垂直的性质定理①a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；②a⊥α，b⊥α⇒a∥b；③a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(4)点到平面的距离的定义从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．(2)直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．m⊂α，n⊂α，且m∩n＝Al⊥m，l⊥n⇒l⊥α(5)直线和平面的距离的定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任一点到这个平面的距离叫做这条直线和平面的距离．线到平面的距离是用点到平面的距离来度量的．(6)判定直线与平面垂直的方法①定义；②判定定理；③a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ.(7)垂直关系的转化其中线⊥面是线⊥线、面⊥面转化关系的枢纽，在证题过程中“”关键要寻求三级转化的条件，确定转化目标．2．三垂线定理及逆定理(1)三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．PO，PA分别为α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，a⊂α且a⊥OA⇒a⊥PA.(2)三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．(3)斜线在平面内的射影及射影长定理连结斜足及斜线上不同于斜足的一点在平面内的射影，所得直线称为斜线在平面内的射影，从平面外一点向平面引垂线和若干条斜线，斜线段长相等射影长相等．3．平面与平面垂直的有关定理(1)判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．AB⊥α，AB⊂β⇒α⊥β.(2)性质定理①若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α且m⊥l，则m⊥β.②若α⊥β，点P∈α，P∈m且m⊥β，则m⊂α.③若β⊥α，γ⊥α，β∩γ＝m，则m⊥α.4．方法(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法；②定理：m⊂α，m⊥β，则α⊥β；③m∥α，m⊥β，则α⊥β.(2)“”“”“”线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线．若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据，并有利于证明，不能随意添加．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为“线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故要熟练掌握线线垂”“”“”直、线面垂直、面面垂直间的转化条件和转化作用．正确进行它们之间的转化是解决这类问题的关键．考点陪练1.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，P∈l，则给出下面四个结论()①过P和l垂直的直线在α内；②过P和β垂直的直线在α内；③过P和l垂直的直线必与β垂直；④过P和β垂直的平面必与l垂直．其中正确的命题是A．②B．③C．①④D．②③解析：满足①条件的直线在过点P与l垂直的平面内，故①不对；由平面与平面垂直的性质定理知②是正确的；满足③中条件的直线可在β内，故③不对；对于④，过P与β垂直的平面可绕P点转动，不一定与l垂直，故④不对．答案：A2．正四面体中面SDQ在该四面体的四个面上的射影可能是()A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②④解析：△SDQ在面ABD上的射影为图④，△SDQ在面ABC上的射影为图①，△SDQ在面BDC上的射影为图②，因此选D.答案：D3．平面α⊥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β解析：对于A，由l⊥α，l⊥β知，α∥β或α与β重合；对于B，由γ∥α，γ∥β知α∥β；对于C，由γ⊥α，γ⊥β知，...
