高中数学 21 数列的概念与简单表示法 第2课时课件 新人教A版必修5 课件VIP专享VIP免费

第2课时数列的递推公式1．数列的递推公式如果已知数列{an}的(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的与它的前一项(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式．第1项任一项anan－1递推2．通项公式与递推公式的区别与联系区别联系通项公式项an是序号n的函数式an＝f(n)都是数列的一种表示方法，可求出数列中任意一项递推公式已知a1及相邻项间的关系式1．数列2,4,6,8,10…，的递推公式是()A．an＝an－1＋2(n≥2)B．an＝2an－1(n≥2)C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)解析：A选项a1不能确定，A不正确；B、D选项是2倍关系，也不正确．答案：C2．在数列{an}中，an＋1＝2an2＋an对所有的正整数n都成立，且a7＝12，则a5等于()A．1B.23C.25D．－1答案：A3．已知f(1)＝2，f(n＋1)＝fn＋12(n∈N*)，则f(4)＝________.4．数列－2,2,6,10…，的相邻两项an与an＋1的关系式为________．答案：an＋1＝an＋45．在数列{an}中，已知a1＝12，an＋1－an＝12n2－1，写出数列的前四项，并归纳出通项公式．解：由a1＝12，an＋1－an＝12n2－1，得a2＝a1＋12×12－1＝12＋13＝56a3＝a2＋12×22－1＝56＋115＝910a4＝a3＋12×32－1＝910＋135＝1314，…归纳出通项公式an＝4n－34n－2.[例1]根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)(2)a1＝1，an＋1＝an＋(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)[分析]归纳猜想数列的通项公式时，其一要仔细寻找数列中各项数字间的规律，其二要分析数列各项在计算过程中式子结构的变化情况，从结构中寻找规律．[解](1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9猜想：an＝(n－1)2(2)a1＝1，a2＝32，a3＝42，a4＝52.猜想：an＝n＋12(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9猜想：an＝2n－1＋1[点评]求通项公式时，常用观察分析法、特殊数列法、归纳递推法等，但归纳猜想只是一种思维方法，结果的正确性还需进一步的证明．迁移变式1已知：数列{an}中，a1＝1，an＋1＝nn＋1an(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．解：(1)a1＝1，a2＝11＋1×1＝12，a3＝21＋2×12＝13，a4＝31＋3×13＝14，a5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：an＝1n.[例2]已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＝an－1＋1nn－1(n≥2)给出．(1)写出数列{an}的前5项；(2)求数列{an}的通项公式．[分析]由题目可获取以下主要信息：①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1；②1nn－1＝1n－1－1n.解答本题运用累加法与裂项相消法即可．[解](1)a1＝1；a2＝a1＋12×1＝32；a3＝a2＋13×2＝53；a4＝a3＋14×3＝74；a5＝a4＋15×4＝95.(2)由an＝an－1＋1nn－1得an－an－1＝1nn－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝1nn－1＋1n－1n－2＋…＋13×2＋12×1＋1＝(1n－1－1n)＋(1n－2－1n－1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1＝－1n＋1＋1＝2－1n＝2n－1n(n∈N*)．[点评](1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．(2)累加法当an－an－1＝f(n)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项an.迁移变式2若把本例中“an＝an－1＋1nn－1(n≥2)”改为“an＝an－1＋1n－1n＋1(n≥2)”其他不变，如何求数列的前5项与通项公式an?解： a1＝1，an＝an－1＋1n－1n＋1(n≥2)，∴a2＝a1＋11×3＝43；a3＝a2＋12×4＝3524；a4＝a3＋13×5＝6140；a5＝a4＋14×6＝4730.又an－an－1＝1n－1n＋1＝12(1n－1－1n＋1)(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝12[(1n－1－1n＋1)＋(1n－2－1n)＋…＋(12－14)＋(1－13)]＋1＝12(－1n＋1－1n＋12＋1)＋1＝7n2＋3n－24n2＋4n(n∈N*)．[例3]设{an}是首项为1的正项数列...