1/31《高等代数》试题11一、选择题（每题3分，共12分）1、下列集合有（）个不是nR的子空间；}0,|),,({21211ninxxxRxxxxw；},|),,({21212ninxxxRxxxxw；},|),,,,,,({3Rbabababaw；}|),,({214为整数inxxxxw；（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2、（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；（2）若向量组}{21r，，，线性无关，1r可由r,21,线性表出，则向量组}{121r，，，也线性无关；（3）设}{21r，，，线性无关，则}{121r，，，也线性无关；（4）}{21r，，，线性相关，则r一定可由121,r，线性表出；以上说法中不正确的有（）个。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3、（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；（2）设n，21,是向量空间V中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则n，21,是V的一个基；（3）设},{21n，是向量空间V的一个基，如果}{21n，，与},{21n，等价，则}{21n，，也是V的一个基；（4）n维向量空间V的任意1n个向量线性相关；以上说法中不正确的有（）个。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4、（1）线性变换的本征向量之和仍为的本征向量；（2）属于线性变换的同一本征值0的本征向量的任一线性组合仍是的本征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式；（4）0)(0XAI的非零解向量都是A的属于0的特征向量；以上说法不正确的有（）个。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个二、填空题（每空3分，共18分）1、复数域C作为复数域C上的向量空间，则Cdim___________它的一个基为____________________。2、设},{21n，，是向量空间V的一个基，由该基到}{11，，nn的过渡矩阵为___________________。2/313、设V是数域C上的3维向量空间，是V的一个线性变换，}{321，，是V的一个基，关于该基的矩阵是221321111，321，则)(关于}{321，，的坐标是____________。4、矩阵3100430000800007A的特征值是____________。5、在欧氏空间]2,2[C里x的长度为______________。6、二次型yzxzxyzyxzyxf222),,(的矩阵是______________.三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）1、已知}1,,,{233xxxxxx是][3xC的一个基，求122xx在该基下的坐标。2、设矩阵12422421xA与45yB相似，求yx,。3、求一个正交变换PYX把二次型21322221321442),,(xxxxxxxxxf化为只含有平方项的标准形。4、t取何值时，二次型322123222132122)(),,(xxxxxxxtxxxf正定。四、证明题（每小题10，共20分）1、令是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果)(i的特征多项式的根都在C内；)(ii对于的特征多项式的每一根，本征子空间V的维数等于的重数。证明可以对角化2、设是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果是对称变换，且2是单位变换。证明是正交变换。《高等代数》试题12一、选择题：（33=9分）1、A，B，C是同阶方阵，且ABC=I，则必有（）（A）ACB=I（B）BAC=I（C）CAB=I（D）CBA=I2、设为任意非零向量，则（）。(A)线性相关(B)线性无关(C)线性相关或线性无关3、设向量组I（r,,21），II（srr,,,,,121）则必有（）。3/31(A)I无关II无关(B)II无关I无关(C)I无关II相关(D)II相关I相关二、填空：（3124分）1、单个向量线性无关的充要条件是______________________________。2、A是nn矩阵，对任何1nb矩阵，方程AX=b都有解的充要条件是________________________________________________。3、叙述替换定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。4、xxxxxf321132213321)(,则f(4)=__________________________三、计算题：1、解矩阵方程112011111011220111X（9分）2、3R中的两向量组)1,1,1()1,1,2()1,0,1(321，)1,2,1()0,1,1()1,1,0(321（i）证明它们都是3R的基，（ii）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵，（iii）如果在基},,{321下的坐标为（3，1，2），求在基},,{321下的坐标。（15分）3、计算行列式nnaaaD11111111111121（021naaa）（9分）4、求线性齐次方程组的基础解系00203202254353215432...
