导数(含积分)的运算与应用知识梳理基础练习能力提升【考纲下载】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会利用导数解决某些实际问题.4.会计算常见函数的定积分，利用定积分会求曲边图形的面积.一、知识梳理一、知识梳理'()0,fx'()0fx0()()fxfx0()()fxfx二、基础练习二、基础练习BReturn三、能力提升三、能力提升题型三：已知函数的单调区间，求参数的范围.(高考命题研究专家原创卷)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞),2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>成立．思路点拨：(1)求出f′(x)，对t进行讨论，(2)列出a的不等式，求a的取值范围转化成求函数的最值，(3)把不等式lnx＞转化成xlnx>.证明xlnx的最小值不小于的最大值．解：(1)f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，则x＝.当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当00)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4.因为对一切x∈(0，＋∞),2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.(3)问题等价于证明xlnx>(x∈(0，＋∞))，由(1)知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到．设m(x)＝(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易得m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到．从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>成立．导数的应用举例证:(1)∵x1时,g(x)>0,∴g(x)在(1,+∞)上为增函数.又g(x)在x=1处连续,∴f(x)=lnx<2.已知函数f(x)=lnx.(1)求证:当1a>0时,恒有ax<<.x-a2-f(x)2+f(x)f(x)-f(a)x+a22-f(x)2+f(x)∴要证x<成立,即lnx>成立.x+12(x-1)记g(x)=lnx-.x+12(x-1)则g(x)=-(x+1)241x只要证明x(2-lnx)<2+lnx,x(x+1)2(x-1)2=.∴g(x)>g(1)=0.∴lnx>成立.x+12(x-1)∴当1成立.x+12(x-1)∵当x>a>0时,>1,ax∴ln>.axax+12(-1)ax∴lnx-lna>.x+a2(x-a)lnx-lnax-a∴<,x+a2记h(x)=lnx-,xx-1则h(x)=xx-(x-1)212x-af(x)-f(a)即<.x+a2∴h(x)0,m2x32x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+mn>0.∴由f(x)<0得m≤x0得mn2,t=-.1mx2n∴由t<0得m≤x0得mn0,5+125-12∴h(u)在(1,2]上是增函数.=42-5.故对任意x1,x2[m,n),|f(x1)-f(x2)|≤42-5恒成立.∴h(u)≤h(2)=4-8+42-1变式:2(1)'()422()[1,1]'()0[1,1].220[1,1]1fxaxxfxfxxxaxx在上是增函，对恒成立即对恒成立[解析]20()212(1)1200012(1)1201011.axxaxaaaaaa设或或}.11|{,0)1(',10)1(',1],1,1[aaAfafax时以及当时只有当对[法一][法二]练习：可作多少条切线。过点）设（的单调增区间；求函数求的一个极值点是已知)5,2(,1)()(3)()2()1(ln22)(21xxfxgxfbxbxxfx变式：
