高考导航热点透析思想方法第3讲空间角阅卷评析1.(2014高考浙江卷,文20)如图,在四棱锥ABCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°.AB=CD=2,DE=BE=1,AC=2.高考导航研真题明备考高考体验(1)证明:AC⊥平面BCDE;(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.(1)证明:连接BD,在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=2,由AC=2,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE.(2)解:在直角梯形BCDE中,由BD=BC=2,DC=2,得BD⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,所以BD⊥平面ABC.作EF∥BD,与CB延长线交于F,连接AF,则EF⊥平面ABC.所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角.在Rt△BEF中,由EB=1,∠EBF=π4,得EF=22,BF=22,在Rt△ACF中,由AC=2,CF=322,得AF=262.在Rt△AEF中,由EF=22,AF=262,得tan∠EAF=1313,所以,直线AE与平面ABC所成的角的正切值是1313.2.(2014高考天津卷,文17)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=2,AD=2,PA=PD=5,E,F分别是棱AD、PC的中点.(1)证明:EF∥平面PAB;(2)若二面角PADB为60°,①证明:平面PBC⊥平面ABCD;②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.(1)证明:如图,取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点,故MF∥BC且MF=12BC.由已知有BC∥AD,BC=AD.又由于E为AD中点,因而MF∥AE且MF=AE,故四边形AMFE为平行四边形,所以EF∥AM.又AM平面⊂PAB,而EF平面⊄PAB,所以EF∥平面PAB.(2)①证明:连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点.故PE⊥AD,BE⊥AD,所以∠PEB为二面角PADB的平面角.在△PAD中,由PA=PD=5,AD=2,可解得PE=2.在△ABD中,由BA=BD=2,AD=2,可解得BE=1.在△PEB中,PE=2,BE=1,∠PEB=60°.由余弦定理,可解得PB=3,从而∠PBE=90°,即BE⊥PB.又BC∥AD,BE⊥AD,从而BE⊥BC,因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD.所以,平面PBC⊥平面ABCD.②解:连接BF.由①知,BE⊥平面PBC,所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角.由PB=3及已知,得∠ABP为直角.而MB=12PB=32,可得AM=112,故EF=112.又BE=1,故在直角三角形EBF中,sin∠EFB=BEEF=21111.所以,直线EF与平面PBC所成角的正弦值为21111.3.(2011高考浙江卷,文20)如图,在三棱锥PABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.(1)证明:AP⊥BC;(2)已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角BAPC的大小.(1)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC,又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC,因为PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD,故BC⊥AP.(2)解:如图,在平面PAB内作BM⊥PA于M,连接CM.因为BC⊥PA,得PA⊥平面BMC,所以AP⊥CM.故∠BMC为二面角BAPC的平面角.在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=41.在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2,在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6,在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.又cos∠BPA=2222PAPBABPAPB=13,从而sin∠BPA=223.故BM=PBsin∠BPA=42.同理CM=42.因为BM2+MC2=BC2.所以∠BMC=90°,即二面角BAPC的大小为90°.感悟备考空间角(异面直线所成的角、线面角、二面角,重点是线面角)问题,以解答题为主,考查学生的空间想象能力与计算能力,题目以中档题为主考查.预测2015年高考中,仍以某几何体为载体,重在探索和判定线线、线面和面面的位置关系,当然也可能综合考查空间角的计算,题目难度为中档.热点透析突典例熟规律热点一求异面直线所成的角【例1】如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=22,PA=2.求:(1)三角形PCD的面积;(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.解:(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.因为PD=22222=23,CD=2,所以三角形PCD的面积为12×2×23=23.(2)如图所示,取PB中点F,连接EF、AF,则EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.可证得EF⊥平面PAB,从而EF⊥AF.在Rt△AEF中,由EF=2,AF=2,AE=2知△AEF是等腰直角三角形,所以∠AEF=π4.因此,异面直线BC与AE所成的角的大小是π4.题后反思求异面直线所成的角是通过平移直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据等角定理,异面直线所成的角的大小与顶点位置无关,将角的顶点取在一些特殊点上(如线段端点,中点等).热点训练1:(2014温州十校联考)在Rt△AOB中,∠OAB=π6,斜边AB=4.Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到Rt△AOC...
