高中数学 1.2 三角形中的几何计算课件 新人教A版必修5 课件VIP免费

[研一题][例1]如图，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．[提示]在△ABD中，利用余弦定理求BD，进而考虑在△BCD中，运用正弦定理求BC.[自主解答]设BD＝x.在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，即142＝102＋x2－2×10xcos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6(舍)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理，得BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，解之得BC＝16sin135°·sin30°＝82.[悟一法]对于三角形中的长度计算，可直接应用正弦定理或余弦定理解答，而有关四边形中的长度计算问题，一般则需要构造三角形，转化为解三角形问题，这时需分析所求长度与三角形的哪几个要素有关，往往是正弦定理与余弦定理的综合应用．[通一类]1．在ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.[研一题][例2]在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝3132且AD＝BD，求△ABC的面积[提示]先由余弦定理求出CD，再利用正弦定理求出sinC，最后根据S△ABC＝12BC·AC·sinC求解．[自主解答]设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理可知：cos∠CAD＝5－x2＋42－x22×4×5－x＝3132.解得x＝1.在△CAD中，由正弦定理可知：ADsinC＝CDsin∠CAD，∴sinC＝ADCD·1－cos2∠CAD＝41－31322＝378，∴S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12×4×5×378＝1574.所以三角形ABC的面积为1574.[悟一法]求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．[通一类]3.如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形ABCD的面积．解：连接BD，在△BCD中，BC＝CD＝2，C＝120°，则∠DBC＝30°，所以BD＝23.∠ABD＝90°，所以S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝12×2×2×32＋12×4×23＝53.[研一题][例3]如图所示，AB是半径为r的圆的一部分，弦AB的长为2r，C为AB上一点，CD⊥AB于D，问当点C在什么位置时，△ACD的面积最大，并求出这个最大面积．[提示]设∠CAD＝θ，于是根据正弦定理可建立AC关于θ的三角函数，进而表示AD，最后利用S△ACD＝12AC·AD·sinθ，转化为三角函数求最值．[自主解答]∵OA＝OB＝r，AB＝2r.∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB＝90°.∴∠ACB＝360°－90°2＝135°.设∠CAD＝θ(0°<θ<45°)，则∠ABC＝45°－θ.∵⊙O是△ABC的外接圆，∴根据正弦定理得，AC＝2r·sin∠ABC＝2rsin(45°－θ)．在Rt△ACD中，AD＝AC·cosθ＝2rsin(45°－θ)·cosθ.∴S△ACD＝12AC·AD·sinθ＝12·2rsin(45°－θ)·2rsin(45°－θ)·cosθ·sinθ＝2r2sin2(45°－θ)·sinθ·cosθ＝r2·1－cos90°－2θ2·sin2θ，＝12r2(1－sin2θ)·sin2θ，＝－r22(sin2θ－12)2＋r28.∴当sin2θ＝12，即θ＝15°时，S△ACD取得最大值，故当∠CAD＝15°时，△ACD的面积最大，最大面积为r28.[悟一法]在三角形几何计算中解决最值问题的关键是引入变量，一般是角，θ，通过正弦定理和余弦定理或其他条件，寻求所需边与θ的关系，从而建立函数关系，转化为三角函数求最值问题加以解决，但求最值时应注意变量θ的取值范围．[通一类]4.如图所示，点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作半圆的切线PT，使PT＝1，则如何确定P点的位置，才能使得四边形ABTP的面积最大？并求出最大值．解：连接BP，设∠PAB＝α，由AB为直径得∠APB＝90°，即△APB是直角三角形，由AB＝PT＝1得：AP＝cosα，BP＝sinα.又PT是圆的切线，故∠BPT＝∠PAB＝α，S四边形ABTP＝S△APB＋S△BPT＝12sinαcosα＋12sin2α＝14sin2α＋14(1－cos2α)＝14＋14(sin2α－cos2α)＝14＋24sin(2α－π4)，当2α－π4＝π2时，即α＝3π8时，Smax＝1＋24.如图所示，已知∠POQ＝60°，M是∠POQ内的一点，它到两边的距离分别为MA＝2，MB＝11，求OM的长．[巧思]因为∠MBO＝∠MAO＝π2，所以O、A、M、B四点都在以OM为直径的圆上．这个圆就是△AOM、△BOM以及△ABM的外接圆．故可利用正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为三角形外接圆半径)求解．[妙解]连接AB，由已知O，A，M，B四点都在以OM为直径的圆上．这个圆就是△ABM的外接圆．∵∠POQ＝60°，∴∠AMB＝120°.在△ABM中，AB2＝MA2＋MB2－2MA·MBcos120°=22＋112－2×2×11×(－12)＝147，∴AB＝73.由正弦定理得OM＝ABsin∠AMB＝ABsin120°＝7332＝14.