第九节函数与方程考纲解读1．结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．考向预测1．函数的零点及二分法是新增内容，是高考的重要考点，在近两年的高考中均有重要体现．2．多以选择、填空的形式出现，属中、低档题．常与函数的图像、性质交汇命题．知识梳理1．函数零点的定义(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与有交点⇔函数y＝f(x)有．f(x)＝0x轴零点2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴的交点无交点零点个数两个1个2104.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算．f(a)·f(b)<0f(x1)①若，则x1就是函数的零点；②若，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步.f(x1)＝0f(a)·f(x1)<0f(x1)·f(b)<0基础自测1.(2010·天津理)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)[解析] f(0)＝1>0，f(－1)＝－52<0，∴选B.[答案]B2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内()A．至少有一实数根B．至多有一实数根C．没有实数根D．有唯一实数根[解析]利用函数f(x)在[a，b]上是单调减函数，又f(a)，f(b)异号．故选D.[答案]D3．(文)(2011·陕西文，6)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根[解析]本题考查了方程、函数图像、性质．可用数形结合解决．画出函数图像，易知有两个交点，即|x|＝cosx有两个根．[答案]C(理)(2011·陕西理，6)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点[解析]在同一直角坐标系中分别作出函数y＝x和y＝cosx的图像，如图，由于x>1时，y＝x>1，y＝cosx≤1，所以两图像只有一个交点，即方程x－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.[答案]B4．(2012·临沂质检)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()[解析]用二分法求函数的零点，首先保证函数图像在[a，b]上是连续不断的，故A、D不符合题意；然后，保证f(a)·f(b)<0，故B不符合题意，因此选C.[答案]C5．已知方程x2＋(a－1)x＋(a－2)＝0的根一个比1大，另一个比1小，则a的取值范围是________．[解析]函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的大致图像如上图所示，于是有f(1)<0，即1＋(a－1)＋(a－2)<0，解得a<1.[答案](－∞，1)6．函数f(x)＝x－4x的零点个数为________．[解析]令f(x)＝0得x－4x＝0，即x2＝4，∴x＝±2.故f(x)的零点有两个．[答案]27．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围．[解析]当m＝0时，x＝12为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1，则x＝1是函数唯一的零点．若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数的零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf(0)<0，即m<0.综上可知m∈(－∞，0]∪{1}．求函数的零点[例1]求下列函数的零点(1)f(x)＝4x－3；(2)f(x)＝－x2＋2x＋3；(3)f(x)＝x3－3x＋2；(4)f(x)＝x－3x＋2.[分析]根据函数零点与方程根之间的关系，求函数的零点，就是求相应方程的实数根．[解析](1)由4x－3＝0，得x＝34，即f(x)＝4x－3的零点是34.(2)由－x2＋2x＋3＝0，得x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即f(x)＝－x2＋2x＋3的零点为－1,3.(3)由x3－3x＋2...
