第三节二项式定理(理)考纲解读1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．考向预测1．本节内容的考查热点是通项公式，可以求指定项，或已知某项，求指数n等．2．本节内容的考查通常用选择题、填空题的方式进行．知识梳理1．二项式定理(a＋b)n＝_______________________这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做．式中的Crnan－rbr叫做二项展开式的，用Tr＋1表示，即展开式的第项；Tr＋1＝.C0nan＋C1nan－1b1＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)二项式系数通项r＋1Crnan－rbr2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为.(3)字母a按排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.n＋1n降幂升幂3．二项式系数的性质(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的________________相等．(2)如果二项式的幂指数是偶数，的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，的二项式系数相等并且最大．二项式系数中间一项中间两项(3)二项式系数的和等于，即.(4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即.2nC0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2nC1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1基础自测•1.(2011·陕西理，4)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是()•A．－20B．－15•C．15D．20•[答案]C[解析]本小题考查二项展开式的指定项的求法．Tr＋1＝Cr6(4x)6－r·(－2－x)r＝Cr6(－1)r2(12－3r)x令12－3r＝0，∴r＝4，∴T5＝C46＝15.2．(2012·辽宁省实验中学月考)已知x＋33x2n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比值为64，则n等于()A．4B．3C．6D．7[答案]B[解析]令x＝1可得各项系数的和为42n，各项二项式系数的和为22n，由题知42n22n＝64，即22n＝64，故n＝3.3．(2012·潍坊一模)设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2[答案]A[解析]赋值法：令x＝－1，a0＋a1＋a2＋…＋a11＝2·(－1)9＝－2.•4．(2011·福建理，6)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()•A．80B．40•C．20D．10•[答案]B[解析]本题主要考查二项式定理及二项展开式的性质．(1＋2x)5展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，令r＝2得T3＝40x2，∴x2的系数为40，故选B.•5．(2011·重庆文，11)(1＋2x)6的展开式中x4的系数是________．•[答案]240[解析]此题考查求二项式展开式中的特定项，用生成法，考虑x4项怎样生成．(1＋2x)6展开式中x4项系数为C46·24＝240.6．(2010·湖北理)在(x＋43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有______项．[答案]6[解析](x＋43y)20的通项Tr＋1＝Cr20x20－r(43y)r＝Cr203r4x20－ryr，若系数为有理数，则r4为整数，故共有6项．•7．若(1＋2x)6展开式中第2项大于它的相邻两项，试求x的取值范围．[解析]由题意知，C162x1>C062x0C162x1>C262x2∴x>1120
