高中数学 第三章36直线与平面、平面与平面所成的角课件 湘教版选修2-1 课件VIP免费

3．6直线与平面、平面与平面所成的角3.6课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标学习目标1.能用向量方法解决直线和平面所成角的计算问题．2．理解二面角的概念．3．能够利用向量方法解决平面与平面所成角的问题．课前自主学案温故夯基温故夯基1．两条异面直线所成的角的范围是(0，π2]．2．直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的______所成的角，其范围是[0，π2]．3．若l⊥α，则直线l的方向向量就是α的法向量．射影知新益能知新益能1．直线与平面所成角的求法设直线l与平面α所成角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n所成的角为θ1.则sinθ＝|cosθ1|＝|n·a||n||a|.思考感悟1．直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗？提示：不一定．2．二面角的相关概念(1)半平面：在一个平面内作一条直线，则这条直线将平面分成两部分，其中__________都称为半平面．(2)二面角：从一条直线l出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记为_________.这条直线l称为二面角的_____，半平面α，β都称为这个二面角的面．每部分α－l－β棱(3)二面角的平面角：过二面角α－l－β的棱l上任意一点O作_______棱l的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA，OB，则∠AOB称为二面角α－l－β的平面角．二面角的范围是0°～180°.(4)度量：二面角的大小用它的_______度量．垂直于平面角思考感悟2．如何正确认识二面角？提示：(1)二面角是一个空间图形，它是由两个半平面和一条直线构成的图形，可以类比平面内的角．(2)符号α－l－β表示以l为棱，α、β为两个半平面的二面角．(3)两个平面相交，可以构成四个二面角．(4)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫作二面角α－l－β的平面角．3．二面角与平面法向量的关系设两平面α，β所成角为θ，平面α、β的法向量分别为n1、n2，n1与n2所成的角为θ1.则θ与θ1的关系为：θ＝θ10≤θ1≤π2π－θ1π2<θ1≤π，即|cosθ|＝|n1·n2||n1|·|n2|.课堂互动讲练求直线与平面所成的角考点突破考点突破利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB→；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝|n·AB→||n|·|n·AB→|.例例11正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．【思路点拨】利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连接C1M，证明∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，2a)，C1(－32a，a2，2a)，法一：取A1B1的中点M，则M(0，a2，2a)，连接AM、MC1，有MC1→＝(－32a,0,0)，AB→＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a)．∴MC1→·AB→＝0，MC1→·AA1→＝0，∴MC1→⊥AB→，MC1→⊥AA1→，即MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．由于AC1→＝(－32a，a2，2a)，AM→＝(0，a2，2a)，∴AC1→·AM→＝0＋a24＋2a2＝9a24，|AC1→|＝3a24＋a24＋2a2＝3a，|AM→|＝a24＋2a2＝32a，设AC1→与AM→所成的角为θ，∴cosθ＝9a243a×3a2＝32.∴θ＝30°.即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.法二：AB→＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a)，AC1→＝(－32a，a2，2a)．设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，∴n·AB→＝0且n·AA1→＝0.∴ax＝0且2ay＝0.∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)． AC1→＝(－32a，a2，2a)，设AC1→与n所成角为θ1，∴cosθ1＝n·AC1→|n||AC1→|＝－3λa2·3|λ|a＝±12，∴sinθ＝|cosθ1|＝12，θ＝30°.∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.【名师点评】在解答本题过程中，易出现所求角为150°的错误，导致该种错误的原因是忽视了直线与平面的法向量的夹角和直线与平面夹角的区别．自我挑战1如图，在体积为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，求直线A1B与平面BB1C1C所...