第二节命题及其关系、充分条件与必要条件第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理基础梳理1．命题的概念可以_________的语句叫做命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题判断真假(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有_____的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_________．相同没有关系思考感悟否命题与命题的否定有何不同？提示：命题：若p则q，否命题是若綈p则綈q，而命题的否定只否定命题的结论．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的_________，q是p的__________；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的__________．充分条件必要条件充要条件课前热身课前热身1．(2011年苏北四市调研)下面有四个命题：①集合N中最小的数是1；②若a属于N*，则－a不属于N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解集可表示为{1,1}．其中真命题是________．答案：②2．命题“若a＞b”，则“a－1＞b－1”的逆否命题是________．答案：若a－1≤b－1，则a≤b3．a，b为非零向量．“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的________条件．解析：f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b＝x2a·b＋x(b2－a2)－a·b.充分性： a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝x(b2－a2)，若|a|≠|b|，则f(x)是一次函数，若|a|＝|b|，则f(x)是常函数，∴充分性不成立．必要性： f(x)是一次函数，∴a·b＝0且b2－a2≠0，∴a⊥b且|b|≠|a|，∴必要性成立．答案：必要而不充分4．(2011年苏州调研)命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)答案：假考点探究·挑战高考命题关系及命题真假的判断考点突破考点突破如果要判断一个命题是假命题，只需举出反例即可；如果要判断命题是真命题则需要进行证明．由于原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，因此在直接证明原命题的真假有困难时，可以考虑与它等价的逆否命题．例例11已知函数f(x)＝x＋sinx，x∈R，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．【思路分析】首先用导数法，判断出f(x)的单调性，利用命题的等价性判断．【解】 f′(x)＝1＋cosx≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．用反证法证明：假设a＋b＜0，a＜－b，b＜－a，因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，真命题．因为一个命题它的逆否命题，所以可以证明原命题⇔为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，又因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，所以逆否命题为真．【名师点评】本题可由提供的命题的特点，联想到与函数的单调性有关，但误区是采用单调性的定义来判断函数的单调性，这说明对知识的归纳不到位．变式训练1若m≤0，或n≤0，则m＋n≤0.写出逆命题、否命题、逆否命题，同时分别指出它们的真假．解：逆命题：若m＋n≤0，则m≤0，或n≤0.逆命题为真．否命题：若m＞0，且n＞0，则m＋n＞0.否命题为真．逆否命题：若m＋n＞0，则m＞0，且n＞0.逆否命题为假．充分条件与必要条件的判定解这类问题必须明确哪个是条件，哪个是结论，然后再看是由条件推出结论，还是由结论推出条件，应用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义加以证明．例例22(2011年苏州调研)下列各小题中，p是q的充要条件的是________．(填写正确命题的序号)①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：f－xfx＝－1，q：y＝f(x)是奇函数；③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.【思路分析】①中求出q适合的m的范围与p对比；②p中：f(x)≠0；③正切对α＝kπ＋π2无意...
