第3讲函数与方程及函数的应用【高考真题感悟】(2011·陕西)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内有________个零点．解析在同一直角坐标系中分别作出函数y＝x和y＝cosx的图象，如图，由于x>1时，y＝x>1，y＝cosx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点．1考题分析本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，突出考查了考生的转化与化归能力以及应用数形结合解决问题的能力，体现了对知识、思想方法和能力的考查．易错提醒(1)不能将函数零点问题转化为函数图形交点的问题，亦即缺乏转化的意识．(2)图形描绘不准确，导致误判．主干知识梳理1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数的应用函数应用的基本过程为热点分类突破题型一函数零点的判定例1若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________.思维启迪f(x)的零点的个数即为函数y＝|4x－x2|与y＝a的图象的交点的个数，所以用数形结合的思想方法求解．解析y＝|x2－4x|的图象如图 函数y＝|x2－4x|的图象与函数y＝4的图象恰有3个公共点，∴a＝4.4探究提高(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值或大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)函数零点(即方程的根)的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．变式训练1(2011·辽宁)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________________．解析函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．(－∞，2ln2－2]题型二函数与方程的综合应用例2设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为实数)．(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a>2，求函数f(x)的最小值．思维启迪(1)f(x)为偶函数⇒f(－x)＝f(x)⇒a＝0.(2)含绝对值的函数的实质是分段函数，可以通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，得到分段函数．解(1)由已知f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.(2)f(x)＝x2＋2x－a，x≥12a，x2－2x＋a，x<12a，当x≥12a时，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，由a>2，x≥12a，得x>1，从而x>－1，故f(x)在x≥12a时单调递增，f(x)的最小值为f(a2)＝a24；当x<12a时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1)，故当1≤x
0，知f(x)的最小值为a－1.探究提高(1)对于偶函数可得f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；对于奇函数，若x＝0有意义，则总有f(0)＝0.(2)含绝对值的函数一般都要去掉绝对值符号，化成分段函数．(3)分段函数的单调性和最值问题，一般是在各段上分别说明，然后再合并说明．变式训练2已知函数y＝x＋ax有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．(1)如果函数y＝x＋2bx在(0,4]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数，求实常数b的值；(2)设常数c∈[1,4]，求函数f(x)＝x＋cx(1≤x≤2)的最大...
