第六章不等式、推理与证明第44讲直接证明与间接证明【学习目标】1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点及证明步骤．2．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．【基础检测】1．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x<0)，则a与b大小关系为()A．a>bB．ab.A2．分析法证明：欲使①A>B，只需②C0，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a、b、c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【解析】假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c<6.而事实上a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，∴a，b，c中至少有一个不小于2.Ｃ4．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n（n＋1）(n∈N*)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：1k（k＋1）＝1k－1k＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n（n＋1）＝1n－1n＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1n（n＋1）＝1－1n＋1＝nn＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n（n＋1）（n＋2）(n∈N*)”，其结果为______________________________．(3)4(1)(2)nnnn【解析】先改写第n项，1n（n＋1）（n＋2）＝1n＋1×1n（n＋2）＝12×1n＋11n－1n＋2＝12×1n（n＋1）－1（n＋1）（n＋2），所以11×2×3＋12×3×4＋…＋1n（n＋1）（n＋2）＝1211×2－1（n＋1）（n＋2）＝n（n＋3）4（n＋1）（n＋2）.【知识要点】1．直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为____________．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为__________．推证过程如下：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为_________．直接证明综合法分析法推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_________．(2)反证法的特点：先假设原命题__________成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．反证法不【解析】先证必要性．设数列{an}的公差为d，若d＝0，则所述等式显然成立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝1da2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1＝1d1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1＝na1an＋1.一、综合法及应用例1设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0.证明：“{an}为等差数列”的充要条件是“对任何n∈N*，都有：1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1”．再证充分性．依题意有：1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2，两式相减得：n＋1a1an＋2－na1an＋1＝1an＋1an＋2.上式两边同乘a1an＋1an＋2得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，①同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1，②①－②得2nan＋1＝n(an＋an＋2)，即2an＋1＝an＋an＋2，故{an}是等差数列．【点评】本题主要考查等差数列、充要条件、综合法等知识，主要考查推理论证能力和运算求解能力．二、反证法及应用例2在数列{an}中，a1＝35，an＋1＝3an2an＋1，n∈N*.(1)求证：数列...
