高中数学 第二章233节第二课时等比数列的前n项和精品课件 苏教版必修5 课件VIP专享VIP免费

2.3.3等比数列的前n项和第二课时•课标要求：1.掌握求等比数列通项公式、前n项和公式的常用方法．•2．利用等比数列有关知识解决数学应用问题．•重点难点：本节重点：求等比数列前n项和的常用方法及前n项和的基本性质．•本节难点：等比数列前n项和性质的应用．课标定位基础知识梳理等比数列前n项和的性质性质1：n≥2时，Sn＝a1＋qSn－1.性质2：m，n∈N*时，Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋…＋am＋n＝Sm＋qmSn.故Sm＋n＝Sm＋_____Sn或Sm＋n＝Sn＋____Smqmqn性质3：①n为正偶数时S偶S奇＝___.②n为正奇数时S偶S奇－an＝___.③S奇＋S偶＝Sn.性质4：数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等比数列，且公比为__.注意：q的取值为－1时，n不能为偶数．qqq课堂互动讲练题型一题型一利用前n项和性质解题解决此类问题，要灵活运用前n项和的性质，简化运算．例例11已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．【分析】由等比数列前n项和的性质知①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；②当项数为2n时，S偶∶S奇＝q.解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解．【解】设此等比数列共2n项，公比为q.由于S奇≠S偶，∴q≠1.由于奇数项依次组成以a1为首项，以q2为公比的等比数列，故所有奇数项之和为S奇＝a11－q2n1－q2＝85，①同理可得所有偶数项之和为S偶＝a21－q2n1－q2＝170②②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，解得2n＝8，所以这个数列共8项，公比为2.•【点评】本题利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧．变式训练变式训练1．等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，求S4.解：法一：设等比数列{an}的公比为q，由S2＝7，S6＝91，易知q≠1，由S2＝7，S6＝91，得a11＋q＝7，a11－q61－q＝91，∴a11＋q1－q1＋q2＋q41－q＝91，∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3，∴S4＝a11－q41－q＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28.法二：设数列{an}的公比为q， S2＝7，S6＝91，∴a1＋a2＝7，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝91，∴a1＋a2＝7，7＋7q2＋7q4＝91，∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3.∴S4＝a11－q41－q＝a1(1＋q)(1＋q2)＝28.法三： {an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或－21. S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，∴S4＝28.•对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其实质，从而转化为等比数列的基本问题．题型二题型二有关等比数列前n项和的综合问题例例22以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的点Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)．(1)求证：数列{bn}是等比数列；(2)设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．【分析】解答本题时可先找出an＋1与an的关系，再用an分别表示出bn与bn＋1，从而可证{bn}为等比数列．(2)题可利用S6＝T4，S5＝－9建立关于k的方程而求k的值．【解】(1)证明：由题意知an＋1＝2an＋k，bn＝an＋1－an，所以bn＝2an＋k－an＝an＋k，所以bn＋1＝an＋1＋k＝(2an＋k)＋k＝2(an＋k)，即bn＋1＝2bn.因为b1≠0，所以bn＋1bn＝2(n∈N*)，所以数列{bn}是以2为公比的等比数列．(2)由(1)知{bn}是公比为2的等比数列．可得Tn＝b11－2n1－2＝b1(2n－1)．又由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，所以Sn＝b1(2n－1)－nk.因为S6＝T4，S5＝－9，所以63b1－6k＝15b131b1－5k＝－9，解得k＝8.【点评】此问题的本质还是等比数列的判定与求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而解．变式训练变式训练2．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1、a3、a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．解：(1)由题知2...