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高中数学 第二章233节第二课时等比数列的前n项和精品课件 苏教版必修5 课件VIP免费

高中数学 第二章233节第二课时等比数列的前n项和精品课件 苏教版必修5 课件_第1页
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2.3.3等比数列的前n项和第二课时•课标要求:1.掌握求等比数列通项公式、前n项和公式的常用方法.•2.利用等比数列有关知识解决数学应用问题.•重点难点:本节重点:求等比数列前n项和的常用方法及前n项和的基本性质.•本节难点:等比数列前n项和性质的应用.课标定位基础知识梳理等比数列前n项和的性质性质1:n≥2时,Sn=a1+qSn-1.性质2:m,n∈N*时,Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+…+am+n=Sm+qmSn.故Sm+n=Sm+_____Sn或Sm+n=Sn+____Smqmqn性质3:①n为正偶数时S偶S奇=___.②n为正奇数时S偶S奇-an=___.③S奇+S偶=Sn.性质4:数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列,且公比为__.注意:q的取值为-1时,n不能为偶数.qqq课堂互动讲练题型一题型一利用前n项和性质解题解决此类问题,要灵活运用前n项和的性质,简化运算.例例11已知等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比与项数.【分析】由等比数列前n项和的性质知①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列;②当项数为2n时,S偶∶S奇=q.解答本题的关键是设出项数与公比,然后建立方程组求解.【解】设此等比数列共2n项,公比为q.由于S奇≠S偶,∴q≠1.由于奇数项依次组成以a1为首项,以q2为公比的等比数列,故所有奇数项之和为S奇=a11-q2n1-q2=85,①同理可得所有偶数项之和为S偶=a21-q2n1-q2=170②②÷①,得q=2,代入①得22n=256,解得2n=8,所以这个数列共8项,公比为2.•【点评】本题利用了等比数列的“子数列”性质,若等比数列的项的序号成等差数列,则对应项依次成等比数列.另外,两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧.变式训练变式训练1.等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求S4.解:法一:设等比数列{an}的公比为q,由S2=7,S6=91,易知q≠1,由S2=7,S6=91,得a11+q=7,a11-q61-q=91,∴a11+q1-q1+q2+q41-q=91,∴q4+q2-12=0,∴q2=3,∴S4=a11-q41-q=a1(1+q)(1+q2)=7×(1+3)=28.法二:设数列{an}的公比为q, S2=7,S6=91,∴a1+a2=7,a1+a2+a3+a4+a5+a6=91,∴a1+a2=7,7+7q2+7q4=91,∴q4+q2-12=0,∴q2=3.∴S4=a11-q41-q=a1(1+q)(1+q2)=28.法三: {an}为等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,即7,S4-7,91-S4成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或-21. S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2,∴S4=28.•对于此类问题,在解答时要注意去伪存真,找到其实质,从而转化为等比数列的基本问题.题型二题型二有关等比数列前n项和的综合问题例例22以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的点Pn(an,an+1)(n∈N*)均在一次函数y=2x+k的图象上,数列bn=an+1-an(n∈N*,b1≠0).(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若S6=T4,S5=-9,求k的值.【分析】解答本题时可先找出an+1与an的关系,再用an分别表示出bn与bn+1,从而可证{bn}为等比数列.(2)题可利用S6=T4,S5=-9建立关于k的方程而求k的值.【解】(1)证明:由题意知an+1=2an+k,bn=an+1-an,所以bn=2an+k-an=an+k,所以bn+1=an+1+k=(2an+k)+k=2(an+k),即bn+1=2bn.因为b1≠0,所以bn+1bn=2(n∈N*),所以数列{bn}是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知{bn}是公比为2的等比数列.可得Tn=b11-2n1-2=b1(2n-1).又由bn=an+k得Tn=Sn+nk,所以Sn=b1(2n-1)-nk.因为S6=T4,S5=-9,所以63b1-6k=15b131b1-5k=-9,解得k=8.【点评】此问题的本质还是等比数列的判定与求和问题,只要抓住了本质,问题便可迎刃而解.变式训练变式训练2.已知{an}是公比为q的等比数列,且a1、a3、a2成等差数列.(1)求q的值;(2)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.解:(1)由题知2...

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