高二数学 空间向量在立体几何证明中的应用 ppt 课件VIP免费

空间向量在立体几何证明中的应用新登中学高二数学备课组前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：平行：线面平行、面面平行垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。1、已知bα⊥，a不在α内，如果ab⊥，则aα∥。2、如果aα⊥，aβ⊥，则αβ∥。3、如果ab∥，aα⊥，则bα⊥。（课本P22.6）4、如果aα⊥，bβ⊥，ab⊥，则αβ⊥。一、用空间向量处理“平行”问题↑n→m0mn↑mnm↑nGAEDCBFHMN例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB⊥平面ABEF，H、G分别是AC、BF上的点，且AH=GF.求证：HG∥平面CBE.MHAB,NGABMHNG∥∥∥AH=FGCH=BGCH:CA=BG:BFMH=NGGAEDCBFHPPHCB,PGBE∥∥平面HPG∥平面CBEHG∥平面CBEGAEDCBFHozy证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.x设正方形边长为1,AH=FG=a,则H(0,1-a,a)、G(1-a,1-a,0),22222222故,而平面CBE的法向量为(0,1,0),故,而平面CBE故HG∥平面CBE)22,0,221(aaHGnHGnHRDBCAA1QPNMD1C1B1例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点.求证：MN∥平面AC.M是中点，N是中点MNRQ∥MN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作PP1AB⊥于P1，作MM1AB⊥于M1，连结QP1，作NN1⊥QP1于N1，连结M1N1N1M1P1NN1PP∥1MM1AA∥1又NN1、MM1均等于边长的一半故MM1N1N是平行四边形，故MNM∥1N1MN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)MN所以向量(-x,x,0)，又平面AC的法向量为(0,0,1)，∴∴n0nMN又M不在平面AC内，所以MN∥平面ACnMNDCBAD1C1B1A1例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1平行四边形A1BCD1A1BD∥1C平行四边形DBB1D1B1D1BD∥于是平面A1BD∥平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为1，则向量)1,0,1(1DA)0,1,1(DB设平面BDA1的法向量为),,(zyxn则有x+z=0x+y=0令x=1,则得方程组的解为x=1y=-1z=-1故平面BDA1的法向量为)1,1,1(n同理可得平面CB1D1的法向量为)1,1,1(m则显然有mn即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以平面BDA1CB∥1D1通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？DCBAD1C1B1A1FGHE例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.求证：平面AEH∥平面BDGFADGF∥，AD=GF又EHB∥1D1，GFB∥1D1EHGF∥平行四边形ADGEAED∥G故得平面AEH∥平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz则求得平面AEF的法向量为)1,2,2(n求得平面BDGH的法向量为)1,2,2(m显然有nm故平面AEH∥平面BDGF二、用空间向量处理“垂直”问题0mnnm↑nmnm:''''','.ABCDABCDCCBDAFBDE例5在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ,,''DADCDDxyzA�证明:如图取分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)'(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)'(1,1,2)(2,2,0)0'(1,1,2)(0,2,1)0',',.'AFDBDEAFDBAFDEAFDBAFDEDBDEDAFBDE����又平面ADCB⑴求证：平面MNC⊥平面PBC；⑵求点A到平面MNC的距离。已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝，M、N分别是AD、PB的中点。a2PMN练习1ABCDM1A1B1CXYZ:(),C解如图以为原点建立空间直角坐标系.111111211,0,0),(2,1,0),(0,1,1),(,,),2...