3．9共面与平行3.9课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标学习目标1．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.2．一条直线的方向向量有_____个，一个平面的法向量有____个．无数无数课前自主学案温故夯基温故夯基1．图形共面如果若干个图形在_______平面内，就称这些图形共面．2．直线与平面平行一般地，设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n⇔____________.如果v⊥n且l上至少有一点A∈α，则_____.如果v⊥n且l上至少有一点A∉α，则______.同一个l∥α或l⊂αl⊂αl∥α知新益能知新益能思考感悟空间的两个非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?提示：不能推出a＝λb.因空间中任意两个向量都共面，a，b共面未必有a∥b，则不一定有a＝λb.课堂互动讲练向量共面问题考点突破考点突破证明三个向量共面的常用方法：(1)设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．例例11如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量A1B→、B1C→、EF→是共面向量．【思路点拨】利用向量共面的充要条件或向量共面的定义来证明．【证明】法一：EF→＝EB→＋BA1→＋A1F→＝12B1B→－A1B→＋12A1D1→＝12(B1B→＋BC→)－A1B→＝12B1C→－A1B→.由向量共面的充要条件知，A1B→、B1C→、EF→是共面向量．法二：连接A1D、BD，取A1D中点G，连接FG、BG，则有FG綊12DD1，BE綊12DD1，∴FG綊BE.∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，∴A1B→、B1C→、EF→都与平面A1BD平行．∴A1B→、B1C→、EF→共面．利用方向向量和法向量判定线面位置关系利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．例例22(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：①u＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－12②u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)③u＝(4,2，－3)，v＝(1,4，－2)(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α与l的位置关系：①u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)②u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)③u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)【思路点拨】解答本题可先判断直线的方向向量与平面的法向量之间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系．【解】(1)① a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.② a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.③ a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，∴a与b不共线也不垂直．∴l1与l2相交或异面．(2)① u＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－12∴u·v＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.② u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，∴u＝－32v，∴u∥v，∴α∥β.③ u＝(4,2，－3)，v＝(1,4，－2)，∴u与v不共线也不垂直，∴α、β相交但不垂直．(3)① u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，∴u·a＝－12－4＋16＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.② u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)，∴u＝14a，∴u∥a，∴l⊥α.③ u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)，∴u与a不共线也不垂直，∴l与α斜交．【易误警示】解答此题(3)①时，易出现只写一个答案l∥α的情况，错误的原因是忽视了向量与平面的平行与直线与平面的平行之间的差别．自我挑战1直线l的方向向量a＝(3,2,1)，平面α的法向量是v＝(1，－2,1)，试判断l与α的位置关系．解： a·v＝(3,2,1)...
