进入学案学案11平面的基本性质平面的基本性质考点一考点二考点三1.平面的概念2.平面的基本性质（1）公理1如果一条直线的两点在一个平面内那么这条都在这个平面内.（2）公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是.（3）公理3经过的三点有且只有一个平面.直线上的所有点一条直线不在同一条直线上返回目录返回目录推论1经过一条直线和的一点有且只有一个平面.推论2经过两条有且只有一个平面.推论3经过两条有且只有一个平面.3.斜二测画法.平行直线直线外相交直线考点一平面基本性质的应用【例1】下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，则必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）.返回目录【分析】从基本公理和基本概念入手进行判断.【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①②均错，②中有可能出现两平面只有一条公共直线（当这三个公共点共线时）；③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面；所以③错；返回目录⑤中平行四边形及梯形由公理3的推论及公理1可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，所以⑤错；如图9-1-1，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′AB,BB′BC⊥⊥，但AB与BC不平行，所以⑥错；ABCD,BB′∩AB=B,∥但BB′与CD不相交，所以⑦错；四边形AD′B′C中，AD′=D′B′=B′C=CA=2a，但它不是平行四边形，所以⑧也错.所以填④.返回目录【评析】说明一个命题是假命题只要举一个反例即可.本章的基础性命题真假的判断，主要从特殊情形来举例，说明命题为假.如本题①中三点共线，②中三点共线等.若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件(“这四个点中有三点在同一直线上”“这四个点在同一平面上”.但“这四个点在同一平面上”/“这四个点中有三点在同一直线上”.故应选A.)返回目录＊对应演练＊＊对应演练＊A【例2】已知四条直线a,b,c,d两两相交，但四线不共点，求证：a,b,c,d四线共面.【分析】a,b,c,d四条直线或者有三条共点或无三条共点，故应分两种情形证明.返回目录考点二证明多线共面【证明】（1）若其中有三条直线共点，不妨设a,b,c三条共点，如图.不妨设a∩b∩c=O,且d∩a=A,d∩b=B,d∩c=C,Od, ∴点O与直线d确定一个平面α, Oa,Aa,∈∈又Oα,Aα∈∈，∴aα，同理可证：bα,cα.∴a,b,c,d四线共面.（2）若其中任意三条直线不共点，如图9-1-3.设a∩c=M,b∩c=N. a与b相交，∴a与b确定一个平面α. Ma,Nb,aα,bα,∈∈∴Mα,Nα,∈∈∴cα,同理dα,∴a,b,c,d四线共面.【评析】据此可得两两相交且不共点的n条直线共面的证法.返回目录已知三条直线a，b，c互相平行，且分别与直线l相交于A，B，C三点，证明：四条直线a，b，c，l必共面.证明： ab,∥∴a，b确定一个平面α.又a∩l=A,b∩l=B,∴Aα,Bα∈∈，则lα.同理b，c确定平面β,且lβ,又b∩l=B,b∴和l确定一个平面γ.lγ,从而α，β，γ为同一平面，∴四条直线a，b，c，l必共面.返回目录＊对应演练＊＊对应演练＊【例3】已知空间四边形ABCD中，E,H分别是边AB,AD的中点，F,G分别是边BC,CD上的点，且（如图9-1-4所示），求证：三条直线EF，GH，AC交于一点.【分析】欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上.返回目录考点三证明多线共点考点三证明多线共点32CDCGCBCF【证明】 =1,∴EH=BD,而,∴,且FGBD∥，∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF,GH必相交于一点P.P ∈直线EF，EF平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上.故EF,GH,AC三直线交于一点.【评析...
