第49讲│双曲线第第4949讲双曲线讲双曲线知识梳理第49讲│知识梳理双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做________．这两个定点F1，F2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．双曲线的定义用符号语言表示：_______________________.2．双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程：____________(a>0，b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程：____________(a>0，b>0)，焦点F1(0，－c)，F2(0，c)．其中a，b，c几何意义：a表示实轴长的一半，b表示虚轴长的一半，c表示焦距长的一半．并且有c2＝a2＋b2.焦点焦距||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1第49讲│知识梳理A1(－a,0)，A2(a,0)|x|≥a，y∈R(3)当a＝b时，双曲线称为等轴双曲线，其方程为x2－y2＝a2(或y2－x2＝a2)．3．双曲线的简单几何性质以x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)为例(1)范围：______________；(2)对称性：对称轴为x轴、y轴，对称中心为O(0,0)；(3)顶点：_____________________，实轴长A1A2＝2a，虚轴长B1B2＝2b；(4)离心率e＝ca，e>1.e越______，双曲线越______；e越大，双曲线越________．(5)双曲线的渐近线方程：________.y＝±bax小扁开阔要点探究►探究点1双曲线的定义第49讲│要点探究例1某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所听到的时间比其他两个观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)．第49讲│要点探究[思路]建立平面直角坐标系，将正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s转化为距离差，由此可联想到双曲线的定义，利用双曲线的定义求解．第49讲│要点探究[解答]以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系．设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(－1020,0)，B(1020,0)，C(0,1020)．设P(x，y)为巨响发生点，由A，C同时听到巨响，得|PA|＝|PC|，故P在线段AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x.因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|＝340×4＝1360.由双曲线定义知P点在以A，B为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1上，依题意得a＝680，c＝1020，b2＝c2－a2＝10202－6802＝5×3402，故双曲线方程为x26802－y25×3402＝1.用y＝－x代入上式，得x＝±6805，由|PB|＞|PA|，得x＝－6805，y＝6805，即P(－6805，6805)，所以|PO|＝68010.故巨响发生在接报中心的西偏北45°，距中心的距离是68010m处．第49讲│要点探究[点评]本题通过时间差转化为距离差，自然联想到双曲线定义.利用双曲线定义解题，关键是看能否将题设条件通过推理、转化，变成符合双曲线定义的问题，如果符合双曲线定义，还要判断是完整双曲线还是双曲线的某一支，也即是讨论双曲线定义式中的绝对值问题.如下面的变式题：第49讲│要点探究设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5B．2或6C．7D．9第49讲│要点探究[思路]利用渐近线方程求出a，再根据双曲线定义求解．C[解析]将渐近线方程化为y＝32x，又b＝3，∴a＝2.由于2a＝4>3，∴|PF2|>|PF1|，根据双曲线的定义有|PF2|－|PF1|＝4，∴|PF2|＝7.►探究点2双曲线的标准方程第49讲│要点探究例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)两焦点分别为F1(－10,0)，F2(10,0)，点P(8,0)在双曲线上；(2)已知双曲线过A(－6，－7)，B(3,2)两点，焦点在y轴上．第49讲│要点探究[思路](1)根据双曲线定义，可求出a，又c＝10，于是可求出b，从而求得双曲线方程；(2)设出双曲线方程，将已知点坐标代入方程，解方程组即可求得a、b.第49讲│要点探究[解答](1)|PF1|＝(8＋10)2＋(0－0)2＝18，|PF2|＝(8－10)2＋(0－0)2＝2，∴2a＝|PF1|－|PF2|＝16，∴a＝8，又c＝10，∴b2＝c2－a2＝36. 焦点在x轴上，∴双曲线方程为x264－y236＝1.(2)根据题意，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1...
