高考数学总复习 2-4二次函数的图像与性质课件 北师大版 课件VIP免费

第四节二次函数的图像与性质考纲解读1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．考向预测1．由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着密切的联系，同时有些复杂函数可通过换元化为二次函数，加上三次函数的导函数是二次函数，因此二次函数一直是高考的热点．2．常与二次方程、不等式等综合考查．知识梳理1．二次函数的解析式(1)一般式：f(x)＝；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)＝；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－h)2＋k(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图像定义域RR解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)值域增减性在上单调减在上单调增在上单调增在上单调减4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24ax∈－∞，－b2ax∈－b2a，＋∞x∈－∞，－b2ax∈－b2a，＋∞解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数对称性图像关于直线成轴对称图形a、b、c的作用a决定图像开口方向，a与b决定对称轴位置，c决定图像与y轴的交点位置，a、b、c决定图像的顶点x＝－b2a3.若二次函数y＝f(x)恒满足f(x＋m)＝f(－x＋n)，则其对称轴为.x＝m＋n2基础自测1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中的()[答案]A[解析] a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，b2－4ac>0，∴图像开口向上，与y轴的截距为负，且过(1,0)点．2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如果f(x1)＝f(x2)(其中x1≠x2)，则fx1＋x22等于()A．－b2aB．－baC．cD.4ac－b24a[答案]D[解析]fx1＋x22＝f－b2a＝4ac－b24a.3．(2010·四川文)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1[答案]A[解析]本题考查二次函数的对称轴．由题意知，－m2＝1，m＝－2.4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是定义在R上的偶函数，则f(x)在(0，＋∞)上()A．为增函数B．为减函数C．先减后增D．先增后减[答案]B[解析] f(x)为R上的偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋3.由二次函数的图像易知f(x)＝－x2＋3在(0，＋∞)上为减函数．5．f(x)＝x2＋2(2－a)x＋2在(－∞，2]上是减函数，则a的取值范围是__________．[答案][4，＋∞)[解析]要使f(x)在(－∞，2]上是减函数，只要对称轴x＝－22－a2≥2即可，解得a≥4.6．(教材改编题)函数y＝x2＋4x＋3在[－1,0]上的最大值是__________，最小值是__________．[答案]30[解析]y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，对称轴x＝－2在[－1,0]的左侧，所以函数在[－1,0]上单调递增．故当x＝0时，f(x)取最大值f(0)＝3；当x＝－1时，f(x)取最小值f(－1)＝0.7．求函数f(x)＝x2＋2x－3－2≤x<0x2－2x－30≤x≤3的值域．[解析]作图像如图所示． f(－1)＝f(1)＝－4，f(－2)＝－3，f(3)＝0，f(0)＝－3，∴函数的最大值、最小值分别为0和－4，即函数的值域为[－4,0]．求二次函数的解析式[例1]已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．[分析]从所给条件f(1＋x)＝f(1－x)知，f(x)的图像关于直线x＝1对称，又f(x)的最大值为15，可设f(x)＝a(x－1)2＋15，其中a<0，问题转化为利用条件(3)：方程f(x)＝0的两根x1，x2有x31＋x32＝17，求出系数a.[解析]依条件，f(x)＝a(x－1)2＋15，即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15，由f(x)＝0得ax2－2ax＋a＋15＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋15a，而x31＋x32＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)＝23－3·2·1＋15a＝2－90a，∴2－90a＝17，则a＝－6.∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.[点评]求二次函数解析式的问题一般用待定系数法，其关键在于根据题设合理选用二次函数的解析式的形式．本题解答中，注...